作业(二)分治

分治算法找第k小的数

分治算法找第k小的数的基本思路是利用快速选择

1. 选择基准：从数组中随机选择一个元素作为基准
2. 划分数组：将数组划分为三部分：
   • 小于基准的部分
   • 等于基准的部分
   • 大于基准的部分
3. 判断位置：
   • 如果小于基准的部分的大小等于k-1，则基准就是第k小的数。
   • 如果小于基准的部分的大小大于k-1，则在小于基准的部分递归查找第k小的数。
   • 如果小于基准的部分的大小小于k-1，则在大于基准的部分递归查找第k - (小于部分大小 + 1)小的数。

伪代码

int fenzhi(a[], left, right, k){
    if left == right;  // 数组中只有一个元素
        return a[left];}
    
    a = b(a[], left, right)
    size = a - left + 1

    if (size == k)// 基准正好是第k小的数
    {   return a[a]}
    else if (size > k){ // 第k小的数在左侧
        return fenzhi(arr, left, a - 1, k);}
    else // 第k小的数在右侧
        return quickSelect(a[], a + 1, right, k - size);

时间复杂度

最好时间复杂度：O(n)，在每次划分时都能恰好将数组分成两半的情况下。

最坏时间复杂度：O(n²)，在每次选择基准时都选到最小或最大元素，导致每次只减少一个元素。

分治法的体会

分治法通过将问题分解为更小的子问题，简化了复杂问题的解决方案。这个策略不仅提高了效率，还让算法更易于理解和实现。在查找第k小的数时，分治法充分利用了数组的局部结构，避免了完整排序，从而提升了性能。通过随机选择基准来减少最坏情况的发生，提高了算法的平均性能。这种方法在解决许多其他问题时也具有广泛的应用，如排序和搜索。