Codeforces 1224 C. The Football Season

纪念一下自己不成熟的数论以及被模板牵制的思维

题意

给你$n,p,w,d$,其中$d<w$让你找出一个解$(x,y,z)$满足下式$$x\ast w+y\ast d=p$$$$x+y+z=n$$

分析与解答

解法1(弟弟板子法)

刚开始看到这个题,就感觉非常熟悉,直接百度了一下,发现时POJ2142的大数据版本,直接搜了一个板子,改了改就交https://blog.youkuaiyun.com/u013021513/article/details/47101057
因为之前的拓展欧几里得的板子没有考虑乘法会爆long long的情况,直接交上去会WA,结果到比赛结束才改好

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	> File Name: 2019_10_13_3.cpp
	> Author: z472421519
	> Mail: 
	> Created Time: 2019年10月13日 星期日 17时46分57秒
 ************************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long 
using namespace std;
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b == 1)
    {
        x = 1;
        y = 1 - a;
    }
    else
    {
        ll x1,y1;
        ex_gcd(b,a % b,x1,y1);
        x = y1;
        y = x1 - x * (a / b);
    }
}

int main()
{
    ll n,w,d,p;
    cin >> n >> p >> d >> w;
    ll gcd = __gcd(d,w);
    ll x,y;
    d /= gcd;
    w /= gcd;
    if(p == 0)
    {
        printf("0 0 ");
        cout << n << endl;
        return 0;
    }
    if(p % gcd != 0)
    {
        printf("-1\n");
        return 0;
    }
    ex_gcd(d,w,x,y);
    ll vx;
    ll vy;
    bool flag = false,flag1 = false;
    /*在由x推导y的时候,p / gcd * x会爆long long,需要及时取模*/
        vx = (((p / gcd % w) * (x % w)) % w + w) % w;
        vy = (p / gcd - vx * d) / w;
        if(vy < 0)
            vy = -vy;
   /*在由y推导x的时候,p / gcd * y会爆long long,需要及时取模*/
        y = (((p / gcd % d) * (y % d)) % d + d) % d;
        x = (p / gcd - w * y) / d;
        if(x < 0)
            x = -x;
    if(x + y > vx + vy)
    {
        x = vx;
        y = vy;
    }

    if(x + y > n || x * d + w * y != p / gcd)
        printf("-1\n");
    else
        cout << x << " " << y << " " << n - x - y << endl;
}

解法2(cf官方解法)

对于这个题目,$z$是没有条件限制的,因此只要有$x+y<=n$满足等式就行,注意到如果最小的$x+y$都大于$n$,那一定不行.
我们假设已经找到了一个满足条件的$(x,y)$,使得
$$x\ast w+y\ast d=p$$
当$y>w$时,我们可以将$y$减去w,再将该项与$x\ast w$合并一下,也就是进行如下的过程:
$$x\ast w+(y-w)\ast d+w\ast d=p$$
$$(x+d)\ast w+(y-w)\ast d=p$$
此时等式的$x1+y1=x+d+y-w$,因为d < w,所以$(x1,y1)$是一个更优的解.以此类推,我们可以得到,所有最优的解的$y$都小于$w$,也就是说我们只要在$[0,w-1]$枚举y,再去计算x,判断是否满足条件即可.

/*************************************************************************
	> File Name: codeforces_1244.cpp
	> Author: z472421519
	> Mail: 
	> Created Time: 2019年10月17日 星期四 15时24分02秒
 ************************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long 
using namespace std;

int main()
{
    ll n,p,d,w;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&w,&d);
    for(ll y = 0;y < w;y++)
    {
        if(p - d * y >= 0 && (p - d * y) % w == 0)
        {
            ll x = (p - d * y) / w;
            if(x + y <= n)
            {
                printf("%lld %lld %lld\n",x,y,n - x - y);
                return 0;
            }
        }
    }
    printf("-1\n");
    return 0;
}