【题解】[nyoj509]因子和阶乘

描述

给你一个正整数n，把n!=1x2x3x.....xn分解成素因子相乘的形式，并从小到大输出每个素因子的指数，但要保证最后输出的素因子个数不为0。例如825应表示为0,1,2,0,1表示分别有0,1,2,0,1个2,3,5,7,11。

输入

第一行有一个整数n(0<n<10000),表示有n组测试数据；
接下来n行每行有一个整数 m(1<m<10000)

输出

从小到大输出m分解成素因子相乘后各个素因子对应的指数

样例输入

2
5
53

样例输出

3 1 1
49 23 12 8 4 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1

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比较巧妙的数论题。。。

其实一眼看到，想到的就是对1~m每个数暴力分解一下。。。不过那个10000组数据碉堡了。

然后怎么办。。。我们换一种思考方式。。不求哪一个数的素因子有哪些，而求对于一个素因子a，他在m！出现了几次。

很显然1~m之间只要是a的倍数的数都至少包含一个a，于是numa+=[m/a] (这个数下取整正好就是1~m中a的倍数的个数)

但是这样没统计完，因为还有的数有多个因子a。那么numa再+=[m/(a*a)].

这样还是没有统计完。。。有的数还有两个以上的因子a。。。所以再加[m/(a*a*a)],[m/(a*a*a*a)]...直到要加的这个数为0.

这样素因子a的个数就统计完了。

然后对于2~m之间每一个素数都这样统计一次。。。最后输出就好了（当然要先筛个素数表）

#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int prime[10000+10],tail=0;
bool flag[10000+10];
int n;
int main()
{
	for(int i=2;i<=10000;i++)
	{
		if(!flag[i])prime[tail++]=i;
		for(int j=0;j<tail&&prime[j]*i<=10000;j++)
		{
			flag[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		bool first=1;
		for(int j=0;j<tail&&prime[j]<=x;j++)
		{
			int now=prime[j];
			int ans=0;
			while(1)
			{
				if(x/now!=0)
				ans+=x/now;
				else break;
				now=now*prime[j];
			}
			if(!first)printf(" ");
			else first=false;
			printf("%d",ans);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

想到一道很相似的题：

设f(x)=x的所有因子的和。

求Σf(x) mod M(1<=x<=n).

直接求一个f(x)的话可以转换为一堆等比数列相乘。。。（求等比数列的话可以用一个类似快速幂的方法。。。还可以直接套公式。。。不过套公式比较麻烦，因为这个数很大，又包含除法，不能在中途直接取模，非要硬做估计要写高精度吧。。。不过有两种改进思路：1.边乘边除 2.当M为一个质数的话可以把除法转化为乘逆元）

但是这道题并不需要求出每个f(x),这样不仅比较复杂，还会超时。。

也是上一道题的思路：枚举因子a（不一定是素因子），算出1~n中有多少个数有这个因子，记为b。。。（其实就是多少个数是a的倍数）。。。然后ans+=a*b。

。。。