11、线性滤波器：原理、设计与应用

线性滤波器：原理、设计与应用

1. 全通滤波器

1.1 定义与特性

全通滤波器是一种稳定的滤波器，其增益恒为 1。设 ${b_k}$ 是 $N$ 个模小于 1 的复数序列，其传递函数为：
[P_z(z) = \prod_{k=1}^{N} \frac{z^{-1} - b_k^ }{1 - b_k^ z}]
当 $|z| > \max |b_k|$ 时，该滤波器是全通、稳定且因果的，并且满足：
[
\begin{cases}
|P_z(z)| < 1, & |z| > 1 \
|P_z(z)| = 1, & |z| = 1 \
|P_z(z)| > 1, & |z| < 1
\end{cases}
]
我们可以通过检查 $P_k(z) = \frac{1 - b_k^ z}{z - b_k}$ 来验证上述性质。当 $z = e^{2j\pi f}$ 时，$|P_k(z)| = 1$；当 $|z| < 1$ 时，$|P_k(0)| = \frac{1}{|b_k|} > 1$，根据全纯函数的最大值定理，可得 $|P_k(z)| > 1$；当 $|z| > 1$ 时，利用 $|P_k(1 / z^ )| = \frac{1}{|P_k(z)|}$ 进行证明。

1.2 零点与极点分布

对于 $H_z(z)$，其极点 $P_k = b_k$，零点 $Z_k = \frac{1}{b_k^*}$。极点和零点的模互为倒数，相位相同，在复平面上，它