36、矩阵代数基础结果综述

矩阵代数基础结果综述

1. 闵可夫斯基行列式不等式

对于两个 $n×n$ 的埃尔米特正定矩阵 $A$ 和 $B$，有 $det(A + B)^{1/n} ≥ det(A)^{1/n} + det(B)^{1/n}$，当且仅当存在某个正常数 $c$ 使得 $A = cB$ 时等号成立，这就是闵可夫斯基行列式不等式。

2. 克罗内克积

• 定义 ：设 $A$ 是 $p×q$ 矩阵，$B$ 是 $r×s$ 矩阵，那么 $A$ 和 $B$ 的克罗内克积 $A ⊗B$ 是一个 $pr×qs$ 矩阵，形式如下：
  [
  A ⊗B =
  \begin{bmatrix}
  a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1q}B \
  a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2q}B \
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
  a_{p1}B & a_{p2}B & \cdots & a_{pq}B
  \end{bmatrix}
  ]
  一个常见的特殊克罗内克积是 $I ⊗\Omega$，其形式为：
  [
  I ⊗\Omega =
  \begin{bmatrix}
  \Omega & 0 & \cdots & 0 \
  0 & \Omega & \cdots & 0 \
  \vdots & \v