组合数学：斯特林数+贝尔数

最新推荐文章于 2025-02-01 16:37:29 发布

yyqxwyb

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本文探讨了组合数学中的斯特林数（第一类与第二类）和贝尔数。斯特林数在描述集合的环形结构和无差别划分中起关键作用，而贝尔数则表示元素被任意划分成集合的方案数。文中通过不同球与盒子的模型，阐述了斯特林数和贝尔数在实际问题中的应用，并提供了相关例题。

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第一类Stirling数:
n个元素的集合形成k个环;
边界:S(n,0)=0,n>=1;S(n,n)=1,n>=0;
S(n,k)=S(n-1,k-1)+(n-1)S(n-1,k),1<=k<=n-1;
边界条件：S(n,n)=1,(n>=0);s(n,0)=0,(n>=1);

第二类Stirling数:
n个物体划分成k个非空的无差别集合；
边界: S(n,0)=0,n>=1,S(n,n)=1,n>=0;
S(n,k)=k*S(n-1,k)+S(n-1,k-1),1<=k<=n-1;
边界条件：S(n,0)=0,(n>=1),S(n,n)=1,(n>=0);

k!S(n,k)-n个物体划分成k个非空的有差别集合；

各种不同的盒子放球模型：
1、n个不同的球放入m个相同的盒子中，不允许盒子为空：
方案数=S(n,m)，正是第二类Stirling数的定义。
2、n个不同的球放入m个不同的盒子中，不允许盒子为空：
方案数=S(n,m)∗m!，盒子有区别，乘上盒子所有排列即可。
3、n个不同的球放入m个相同的盒子中，允许盒子为空：
方案数=∑ ^m_i=1S(n,i)，枚举非空盒子个数即可。
4、n个不同的球放入m个不同的盒子中，允许盒子为空：
方案数=∑ _i=0^mP(m,i)∗S(n,i)，因为盒子不同，所以乘上排列数。

贝尔数
n个元素划分为任意个集合的方案数
eg：1、2、3；{（1，2，3）}、{（1），（2，3）}、{（1，2），（3）}、{（1）、（2）、（3）}5种

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=2005;
#define mod 1000//注意mod和maxn 

ll s1[maxn][maxn];//第一类
ll s2[maxn]

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