最小的K个数

题目:输入n个整数,找出其中最小的k个数。
例如输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字,则最小的4个数字是1、2、3、4。

1、最简单的思路:对输入的n个整数排序,输出位于前面的K个数。
第一想到的是快速排序,时间O(nlgn).然后输出前面的k个数,O(k)
所以时间复杂度为O(nlogn+k)=O(nlgn).

2、遍历n个数,先把最先遍历到得k个数存入大小为k的数组之中,对这k个数,利用选择或交换排序,找到k个数中的最大数kmax,用时O(k),后再继续遍历后n-k个数,x与kmax比较:
如果x小于kmax,则x代替kmax,并再次重新找出k个元素的数组中最大元素kmax;如果x>kmax,则不更新数组。这样,每次更新或不更新数组的所用的时间为O(k)或O(0),整趟下来,总的时间复杂度平均下来为:n*O(k)=O(n*k)。

3、更好的办法是维护k个元素的最大堆,原理与上述第2个方案一致,即用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数,并假设它们即是最小的k个数,建堆费时O(k)后,有kmax设为大顶堆中最大元素。继续遍历数列,每次遍历一个元素x,与堆顶元素比较,x小于kmax,更新堆(用时logk),否则不更新堆。这样下来,总费时O(k+(n-k)*logk)=O(n*logk)。此方法得益于在堆中,查找等各项操作时间复杂度均为logk(不然,就如上述思路2所述:直接用数组也可以找出前k个小的元素,用时O(n*k))。

4、N个数存储在数组S中,从数组中随机选取一个数X,把数组划分为Sa和Sb俩部分,Sa<=X<=Sb,如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数,则返回Sa中较小的k个元素,否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素。
像上述过程一样,这个运用类似快速排序的partition的快速选择SELECT算法寻找最小的k个元素,在最坏情况下亦能做到O(N)的复杂度。不过值得一提的是,这个快速选择SELECT算法是选取数组中“中位数的中位数”作为枢纽元,而非随机选取枢纽元。

在C语言中,找到一组整数中的最小k个数可以采用多种算法实现,其中一种常见的方法是使用优先队列(通常称为堆),特别是大顶堆(Max Heap)。这里提供一个简单的示例,使用大顶堆结构: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 定义一个数组大小 #define MAX_SIZE 100 // 结构体表示堆节点,包含值和索引 typedef struct { int value; int index; } MinHeapNode; // 大顶堆实现,用于存储前k小的元素 void max_heapify(int arr[], int n, int i) { int largest = i; // 初始化最大值位置为根节点 int left = 2 * i + 1; // 左孩子 int right = 2 * i + 2; // 右孩子 if (left < n && arr[left] > arr[largest]) { largest = left; } if (right < n && arr[right] > arr[largest]) { largest = right; } if (largest != i) { // 如果有更大值 swap(&arr[i], &arr[largest]); // 交换 max_heapify(arr, n, largest); // 递归调整子树 } } // 建立大顶堆 void build_max_heap(int arr[], int k) { for (int i = k / 2 - 1; i >= 0; i--) { max_heapify(arr, k, i); } } // 添加新元素到堆并保持堆性质 void insert(int arr[], int n, int k, int new_val, int new_index) { arr[n++] = new_val; // 添加新元素 max_heapify(arr, k, n - 1); // 调整以保持堆 } // 获取最小k个数 void get_min_k(int arr[], int k) { printf("The smallest %d numbers are:\n", k); for (int i = 0; i < k; i++) { printf("%d ", arr[0]); swap(&arr[0], &arr[k - 1]); // 将当前堆顶移到末尾 max_heapify(arr, k - 1, 0); // 更新堆 } } // 主函数示例 int main() { int arr[] = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]), k = 3; build_max_heap(arr, k); // 创建初始堆 // 假设我们有新元素插入 insert(arr, n, k, 100, 10); // 新元素:100, 索引:10 get_min_k(arr, k); // 输出前k小数 return 0; } ``` 在这个例子中,`build_max_heap()`函数建立了一个大顶堆,`insert()`函数用于添加新元素并维护堆属性,`get_min_k()`函数则从堆中获取并删除最小的k个元素。
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