用开源求解器和Pyomo实现灵活的班次安排

前段时间讲课时发现简单的优化问题求解还是有些业务需求的，但是无论使用商用还是开源求解器，手工建模仍然需要一定工作量。所以这几天写了个基于pyomo和开源求解器glpk的小排程程序，可以实现多人、自定义班次和排程规则的最优化班次排程(shift assignment)，优化目标包含最低成本和员工最大偏好，并且支持自定义的目标权重。程序支持excel或txt表格形式的标准化输入和输出。

业务需求示例

业务部门要求将n位员工对应至m种班次，在满足每周需求，并尽量满足员工工作时间偏好的同时使人力成本最小。排程单位为小时，planning horizon为一周（168小时）。

业务部门有预先定义的每日班次记录在表格shift里，每个班次预设时长在8-12小时之间，但理论上可以用小于24小时的任何班次设置，也可以跨不同天。

业务部门有n名员工，每位员工每周的工作时间必须满足最小工时/班次数和最大工时/班次数的要求。每位员工的时薪和输出都不同。另外每位员工可以提出对一周内所有班次的偏好，记录在表格preference里。preference为0的班次原则上不安排给员工。每位员工一周内每个小时的availability另外记录在表格availability里。这张表的值为0的时间段也不会安排员工工作（比如休假）。

业务部门定义了每小时的人力需求记录在表格demand里。但每小时的需求不需要严格满足；最终只要求排程满足每周的总体需求，而每小时的需求只需要满足minDemand和maxDemand区间：这是为了保证每小时capacity的上下限。

表格regulation记录所有其他关于班次的要求，目前包含：

• 每人每周最大/最小工作小时数/班次数
• 每人的相邻两班次最少相隔小时数
• 每周最少相同相邻班次个数（保证工作时段稳定性）
• 如果有夜班，每周最少和最多相邻夜班个数（保证工作时段稳定性）
• 属于夜班班次的时间范围
• 基础时薪，以及夜班、周末、法定节假日加班薪酬比例

此外还有关于多目标权重的设定：

• 排程考虑员工偏好的权重
• 排程考虑运营成本的权重

输入格式

Demand:

字段	示例	描述
publicHoliday	0	1为公共假日，0为非公共假日
weeks	1	周index，默认只有一周排程
days	1	1-7,周一为1，周日为7
hours	1	从1开始递增，表示排程中的第n小时
hourPerDay	1	1-24,1代表第0-1小时，24代表第23-24小时
demand	2	绝对需求，以小时为单位
min	1	最小capacity
max	4	最大capacity

排程时考虑每周完成绝对demand的总量，每小时保证在最低和最高capacity之间。

Shift：

字段	示例	描述
weeks	1	周index，默认只有一周排程
days	1	1-7,周一为1，周日为7
hours	1	从1开始递增，表示排程中的第n小时
hourPerDay	1	1-24,1代表第0-1小时，24代表第23-24小时
shiftA	1	ID为shiftA的占用时间，1为占用，0为不占用
shiftB	0	ID为shiftB的占用时间，1为占用，0为不占用

只包含1天内的班次，默认一周内每天的可能班次相同。在排程时会考虑跨半夜和跨周的班次连接。另外根据demand，每个班次可能排多人，也可能不会使用。

24小时shift示例：

weeks	days	hours	hourPerDay	shiftA	shiftB	shiftC	shiftD	shiftE	shiftF	shiftG	shiftH	shiftI	shiftJ	shiftK
1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0
1	1	2	2	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0
1	1	3	3	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0
1	1	4	4	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
1	1	5	5	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
1	1	6	6	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
1	1	7	7	0	1	0	1	1	0	1	0	1	1	0
1	1	8	8	0	1	0	1	1	0	1	0	1	1	0
1	1	9	9	0	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0
1	1	10	10	0	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0
1	1	11	11	0	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0
1	1	12	12	0	1	0	0	1	0	1	0	1	0	0
1	1	13	13	0	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0
1	1	14	14	0	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0
1	1	15	15	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
1	1	16	16	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
1	1	17	17	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1
1	1	18	18	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1
1	1	19	19	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1
1	1	20	20	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1
1	1	21	21	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1
1	1	22	22	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1
1	1	23	23	1	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0
1	1	24	24	1	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0

Availability:

字段	示例	描述
publicHoliday	0	1为公共假日，0为非公共假日
weeks	1	周index，默认只有一周排程
days	1	1-7,周一为1，周日为7
hours	1	从1开始递增，表示排程中的第n小时
hourPerDay	1	1-24,1代表第0-1小时，24代表第23-24小时
A	1	ID为A的员工的availability,1代表available,0代表休假
B	1	ID为B的员工的availability,1代表available,0代表休假

Preference 员工期望排程：

员工ID必须对应availability的所有员工。

班次ID必须对应一周内的所有班次，数量为shift表格里班次数量 * 排程天数。

Preference数值越大代表偏好越明显。如果preference设置为0，则排程时视为不可安排。

字段	示例	描述
employees	A	员工ID
employeeHourlyWage	1	员工时薪
employeeHourlyOutput	1	员工效率
employeePriority	7	员工排程优先级，越高越优先满足preference
shiftA1	1	员工对周一班次shiftA的preference，数值越高preference越高。默认取值范围0-3，但没有特殊要求
shiftB1	3	员工对周一班次shiftB的preference
shiftA2	1	员工对周二班次shiftA的preference
shiftB2	3	员工对周二班次shiftB的preference

Regulation 排程规则：

规则名称	示例	单位	描述
minWorkHour	35	hours	每周每人最少工作小时数（如果有假期会自动排除）
maxWorkHour	60	hours	每周每人最大工作小时数
minShiftsPerWeek	3	shifts	每周每人最少工作班次数（如果有假期会自动排除）
maxShiftsPerWeek	5	shifts	每周每人最大工作班次数
minHourBetweenShift	12	hours	每人的相邻两班次最少相隔小时数
minShiftContinuous	2	days	每周最少相同相邻班次个数（保证工作时段稳定性）
minNightShiftContinuous	3	days	如果有夜班，每周最少相邻夜班个数（保证工作时段稳定性）
nightShiftDefinitionStart	24	hour	属于夜班班次的时间范围（起始时间，不包含）。班次中有任何时间段落入范围，整个班次为夜班
nightShiftDefinitionEnd	4	hour	属于夜班班次的时间范围（结束时间，包含）
maxNightShiftContinuous	5	days	如果有夜班，每周最多相邻夜班个数
standardShiftCostPerPersonPerHour	1	unit	基础时薪（以1为单位，1代表100%）
standardShiftPaymentStart	0	hour	基础时薪的时间范围（起始时间，包含）
standardShiftPaymentEnd	24	hour	基础时薪的时间范围（结束时间，包含）
additionalNightShiftCost	1	unit	夜班加薪（基础时薪的百分比）
additionalNightShiftPaymentStart	22	hour	夜班加薪的时间范围（起始时间，不包含），可以不同于夜班班次时间范围，默认大于
additionalNightShiftPaymentEnd	6	hour	夜班加薪的时间范围（结束时间，包含）
additionalWeekendShiftCost	1	unit	周末加薪（基础时薪的百分比）
additionalWeekendDayStart	6	Saturday	周末时间范围（起始日，包含）
additionalWeekendDayEnd	7	Sunday	周末时间范围（结束日，包含）
additionalPublicHolidayCost	1	unit	公共假日加薪（基础时薪的百分比）
weightPreference	0.1	unit	计算排程目标时，考虑员工preference的权重，取值在0-1之间
weightCost	0.9	unit	计算排程目标时，考虑运营成本的权重，取值在0-1之间

数据检查、优化目标和约束

1. 检查 【min(员工available时间,规定最长工作时间) * 员工单位产出】是否大于等于【客户需求demand总量】。如果最大产出都不能满足需求总量，在进行优化排程前会调整demand到产出的上线。

2. 排程优化会使用以下硬性约束（i.e.如果不能满足，就没有优化结果）：

   • 每周最大/最小工作小时数。如果员工有安排假期，则相应向下调整最小工作小时数
   • 每周最大/最小班次数。如果员工有安排假期，则相应向下调整最小班次数
   • 相邻班次间最小间隔小时数
   • 每周最多连续夜班数
   • 员工availability设为0，和员工preference设为0的位置不可以安排班次
   • 每周总产出必须大于等于总需求
   • 每小时的总产出比如在同一时间的最大和最小需求限制以内（比如如果有产能限制）

3. 另外会考虑逻辑或的约束：

   • 每周最少连续相同/相似班次数。或员工完全不安排班次，就视为合理
   • 每周最少连续相同/相似夜班次数。或员工完全不安排夜班，就视为合理

   注意：非凸优化问题可能产生局部最优解；尤其是逻辑或约束个数很多时，结果可能只部分满足约束条件。

4. 排程优化目标：

   • 最小化运营成本（根据标准时薪、夜班、周末、公共节假日的设定，计算不同时间段的成本）
   • 最大化员工期望的班次数

   两个目标的平衡是通过设定weightPreference 和 weightCost两个参数实现的。在数据处理过程中会对所有目标相关的数据做归一化处理。

如果设置最小班次数和最小工作小时数同时为0，在满足所有硬性约束的条件下，有可能有员工没有被安排任何班次（根据成本优先安排已经有工时的员工）。

如果有要求所有员工都必须满足最小班次数和最小工作小时数，可以通过设置最小班次数和最小工作小时数中的一项。

其他数据处理

1. shift表格只包含24小时的班次信息。会将24小时的班次数据扩展到7天（168小时）。对于跨0时的班次，程序会自动做班次拼接的处理。

2. 计算互斥班次：程序会计算所有不满足班次最小间隔的互斥班次。在计算过程中会自动考虑跨越周日和周一的情况（i.e. 默认所有周都是一周的重复循环）。

3. 计算最大连续夜班班次个数：会生成所有的连续夜班组合，这些组合都比规定的最大连续夜班个数多1个班次。在排程过程中，员工的排程中间结果会与这些夜班组合逐一比较，并保证不出现与任一夜班组合重合的情况。

4. 计算最小连续相同班次个数：会生成所有的连续相同/相似班次组合，这些组合都恰好包含规定的最小连续班次个数。在排程过程中，员工的排程中间结果会与这些连续相同班次组合逐一比较，并保证至少与其中一个组合重合。

   对于相似班次的处理：入参中可以设置considerSimilarShifts=True, 同时设置“相似”班次的标准：similarShiftHours有多少个小时重合的情况下视为相似班次。

5. 计算最小连续相同夜班个数：同4.

建模简述

除了需要逻辑或(Logical-OR)的约束，其他约束和目标都满足线性条件，可以使用标准线性建模方法。

需要逻辑或的约束条件是通过convex hull实现的。建模使用了pyomo中的Generalized Disjunctive Programming (GDP)，具体参考这里。

由于逻辑或是non-convex约束，大量的逻辑或会增加模型的计算量，而且并不保证能够找到可行解。在建模时把逻辑或约束放在其他约束之前，可以在一定程度上提高解的质量。

另外通过createCombinations函数会生成hourlyOutput的不同组合作为模型的超参数输入。不同组合会生成不同的解。程序会根据逻辑或约束的满足程度对解排序，在一定程度上提高解的质量。程序的执行效率通过进程池加速。

hourlyOutput组合是所有满足hourlyOutput小于等于给定output的值的组合。所以给定各个员工的hourlyOutput越高或员工数量越大，组合数量就越大，遍历所有组合需要的时间也越长。之所以选择hourlyOutput作为可变化的超参数，是因为默认所有小于给定hourlyOutput的值也都属于合理范围，等价于牺牲成本换取对约束的满足。

如果仍然出现结果不满足逻辑或约束的情况，可以尝试放宽demand的上下限。

详细建模说明：将业务需求转化为目标和约束

决策变量：

设优化问题的决策变量为 x，这个矩阵的维度是【员工人数n * 班次个数m】，取值为0或1。

优化求解的目的是找到一组x，使目标函数（偏好-成本）达到最大值。

约束：

1… 最大maxshift和最小班次数minshift的约束可以表示为：

$$\sum _j^m{x}_{ij}>=minshift,i\in 1,2,\cdots ,n$$

$$\sum _j^m{x}_{ij}<=maxshift,i\in 1,2,\cdots ,n$$

2… 给定每个班次所在的时间段为向量：

$$shif{t}_j,j\in 1,2,\cdots ,m$$

每个向量的长度为 t = 7*24 = 168。

则有每位员工对应的工作时间为：

$$onDut{y}_{ik}=\sum _j^m{x}_{ij}\ast shif{t}_{jk},i\in 1,2,\cdots ,n,k\in 1,2,\cdots ,t$$

onDuty的取值应为0或1。

3… 最大maxhour工作时长和最小工作时长minhour的约束可以表示为：

$$\sum _k^{t}onDut{y}_{ik}>=minhour,i\in 1,2,\cdots ,n$$

$$\sum _k^{t}onDuty$$