分治算法实现两个n位的正整数相乘

分治算法实现两个n位的正整数相乘

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同，最后按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解，快速排序算法便是基于分治策略的一种排序方法。

这里要讲的是利用分治算法来实现两个n位的正整数相乘：

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具体思路

1. 给定两个均为n位的十进制正整数x、y，将其拆分为左右各一半的xl、xr、yl、yr。具体表示如下： x = xl*10^(n/2) + xr, y = yl*10^(n/2) + yr。例如12345=123*10^(5/2)+45。
2. x*y=[xl*10^(n/2) + xr]*[yl*10^(n/2) + yr]=xl*yl*10^n+(xr*yl+xl*yr)*10^(n/2)+xr*yr
   所以x*y的问题就转化为4个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且性质相同，符合分治策略，但转化后的时间复杂度为T(n) = 4 * T(n / 2) + θ(n)
   通过master定理可以求得 T(n) = θ(n ^ 2)，并未有丝毫优化！
   但伟大的数学家高斯发现xr*yl+xl*yr=(xl+xr)(yl+yr)-xl*yl-xr*yr,这样就可以将x*y**分解成关于3个乘积的子问题*，即x*y=[xl*10^(n/2)