领略算法真谛：倍增思想

嘿，各位技术潮人！好久不见甚是想念。生活就像一场奇妙冒险，而编程就是那把超酷的万能钥匙。此刻，阳光洒在键盘上，灵感在指尖跳跃，让我们抛开一切束缚，给平淡日子加点料，注入满满的passion。准备好和我一起冲进代码的奇幻宇宙了吗？Let's go！

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倍增

快速幂

题目理解：

思路讲解：

暴力解法：

倍增思想：

代码实现：

例题分享：

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倍增

顾名思义就是翻倍。它能够使线性的处理转化为对数级的处理，极⼤地优化时间复杂度。

我们还是以题目引出算法：

快速幂

题⽬来源： 洛⾕

题⽬链接： P1226 【模板】快速幂

难度系数： ★

题目理解：

题目很简单就是求 a的b次方modp的值，但是如果直接算a的b次方，b个a相乘，时间复杂度就是2的31次方，显然会超时，数据范围也超过了long long。

思路讲解：

暴力解法：

直接b次循环结果mod上p，我不管了直接干，能通过多少算多少。

问题1：超时。

问题2：超过数据范围。

倍增思想：

解决问题1：利用倍增+二进制

a ^2= a^1 * a^1

a^4 = a ^2 * a ^2

a^8 = a^4 * a^4

a^16 = a^8*a^8

a^32 = a^16 * a^16

我们就可以快速求出b为2的倍数次方的数，那么如果b不为2的倍数次方呢？也好办，我们将b转化为二进制，比如b为10，它的二进制则为1010 == 2^3 *1+ 2^2*0 + 2^1*1+2^0*0，我们就巧妙地可以用二进制来解决这个问题 

解决问题2：

要解决这个问题之前我们得先了解到一个公式 （a * b ）%  p = （（a %p）* （b%p））%p

当计算过程中只有加法或乘法时，取模可以放在任何位置

代码实现：

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL a, b, p;
//快速幂
LL qpow(LL a, LL b, LL p)
{
	int ret = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) ret = ret * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	cin >> a >> b >> p;

	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, qpow(a, b, p));

	return 0;
}

例题分享：

64位整数乘法

题⽬来源： 洛⾕

题⽬链接： P10446 64位整数乘法

难度系数： ★

这道题是快速乘的模板题目，和快速幂差不多，所以就直接上代码了哦。

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL a, b, p;

LL qmul(LL a, LL b, LL p)
{
	LL ret = 0;
	while (b)
	{
		if (b & 1) ret = (ret + a) % p;
		a = (a + a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	cin >> a >> b >> p;
	
	cout << qmul(a, b, p) << endl;;
	
	return 0;
}