Leetcode 123.Best Time to Buy and Sell Stock III

最新推荐文章于 2020-04-30 00:33:28 发布

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本文介绍了一种算法，用于解决在最多进行两次交易的情况下如何获得最大利润的问题。通过动态规划的方法，详细阐述了如何计算不同交易次数下的最大收益，并提供了两种实现方式的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note: You may not engage in multiple transactions at the same time (i.e., you must sell the stock before you buy again).

Example 1:

Input: [3,3,5,0,0,3,1,4]
Output: 6
Explanation: Buy on day 4 (price = 0) and sell on day 6 (price = 3), profit = 3-0 = 3.
             Then buy on day 7 (price = 1) and sell on day 8 (price = 4), profit = 4-1 = 3.

题目分析：在最多两次交易的前提下取得最大利益。在前面的题目中 122.Best Time to Buy and Sell Stock II没有交易次数的限制，因此我们可以每次低点买入，高点卖出。但在次数限制下这样就不可行了，例如：

[1,2,4,2,5,7,2,4,9,0]

若不限制次数，则在第一天买入第三天卖出，收益3；在第四天买入第六天卖出，收益5；在第七天买入第九天卖出，收益7。

直观的想法是取收益最大的两次，但这样的收益是5+6=11；而最优解是在第一天买入第六天卖出，在第七天买入第九天卖出，收益为6+7=13。

因此考虑用动态规划，引入数组max_profit[i][j],表示到第i天为止交易j次得到的最大收益。考虑递归公式：

max_profit[i][j]=max(max_profit[i-1][j],max_profit[i-1][j-1]+prices[i]-prices[i-1]);

然而分析发现，max_profit[i-1][j]还要细分为在第i-1天卖出及在第i-1天不交易两种情况。

1、在第i-1天卖出时，可能在第i天卖出收益更大，即max_profit[i-1][j]+prices[i]-prices[i-1]，也可能就是第i-1天卖出收益大，即max_profit[i-1][j]。

2、第i-1天不交易，即最后一笔交易在第i-1天之前完成。

则上面的表达式已经不能区分不同的情况，因此引入两个数组变量，jmax_profit[i][j]表示到第i天为止交易j次并且最后一笔交易是在第i天卖出的最大收益；max_profit[i][j]表示到第i天为止交易j次的最大收益。

考虑递归公式：

jmax_profit[i][j]=max(jmax_profit[i-1][j],max_profit[i-1][j-1])+prices[i]-prices[i-1];

max_profit[i][j]=max(jmax_profit[i][j],max_profit[i-1][j]);

其中jmax_profit[i][j]要求最后一次交易在第i天完成，那么：

1、倒数第二次交易可能是在第i-1天之前完成，再加上第i-1天买入第i天卖出的收益，即 max_profit[i-1][j-1]+prices[i]-prices[i-1];

2、倒数第一次交易可能是在第i-1天完成，再加上第i-1天买入第i天卖出的收益，即jmax_profit[i-1][j]+prices[i]-prices[i-1];表示此次交易在第i天卖出收益比在第i-1天卖出收益更大。

而max_profit[i][j]只要能收益最大即可，那么：

1、最后一次交易在第i天完成，即jmax_profit[i][j]；

2、最后一次交易在第i-1天及之前完成，即max_profit[i-1][j]);

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        if(n==0) return 0;
        int jmax_profit[n][3]={0};
        int max_profit[n][3]={0};
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=1;j<3;j++){
                jmax_profit[i][j]=max(jmax_profit[i-1][j],max_profit[i-1][j-1])+prices[i]-prices[i-1];
                max_profit[i][j]=max(jmax_profit[i][j],max_profit[i-1][j]);
            }
        }
        return max_profit[n-1][2];
    }
};

在网上看到了大神的算法，可以用两个一维数组完成计算：

考虑之前的递归公式：

jmax_profit[i][j]=max(jmax_profit[i-1][j],max_profit[i-1][j-1])+prices[i]-prices[i-1];

max_profit[i][j]=max(jmax_profit[i][j],max_profit[i-1][j]);

想要将jmax_profit[i][j]变为jmax_profit[j]，将max_profit[i][j]变为max_profit[j]。如果用一维数组，只能保存当前一行的内容，在计算jmax_profit[j]时需要用到[i-1][j-1]的内容，若j从前往后，那么到了i,j的时候，[i-1][j-1]会被[i][j-1]覆盖掉，所以我们将j从后往前计算。

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        if(n==0) return 0;
        int jmax_profit[3]={0};
        int max_profit[3]={0};
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=2;j>=1;j--){
                jmax_profit[j]=max(jmax_profit[j],max_profit[j-1])+prices[i]-prices[i-1];
                max_profit[j]=max(jmax_profit[j],max_profit[j]);
            }
        }
        return max_profit[2];
    }
};

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