Codeforce 1982B Collatz Conjecture

假定每次整除平均需要 $q$ 次，复杂度 $O(qn),qn\ge 10^9$，显然不行。
出题人友好的用第三组样例提示了数组的循环性（我咋知道，他又没给完），加之题目背景和 $3n+1$ 问题有关，所以也能和循环扯上关系，不妨从这个角度考虑。
既然题目背景有暗示，多测几组数据也能看出来（反正我是没看出来），这个数会在不断地迭代过程中变为 1，然后在 1 到 $y-1$ 中循环。
下面推一下官解的公式：

1. 第一步优化归一后的结果求解，这个循环的周期是 $y-1$，现在还剩 $k$ 次计算，整个变化的数组长这样
   {x,⋯ ,1,⋯ ,y−1,1⋯ ,y−1} \{{x,\cdots,1,\cdots ,y-1,1\cdots ,y-1\}} {x,⋯,1,⋯,y−1,1⋯,y−1}
   众所周知（我还真不是很知），$k\mathrm{mod}y-1$ 的取值是 {0,⋯ ,y−2}\{{0,\cdots,y-2\}}{0,⋯,y−2} ，所对应的值应当是 {1,⋯ ,y−2}\{{1,\cdots,y-2\}}{1,⋯,y−2}，所以将剩余 $k$ 次运算转化为结果就是（前提是 $k$ 次运算后能够将给的 $x$ 归一）
   $$ans=1+k\mathrm{mod}(y-1)$$
   不能归一的话怎么办呢，最简单的就是直接把这个时候的 $x$ 输出，但是官解压行了，因为这时候 $k=0$，显然有
   $$ans=x+0\mathrm{mod}(y-1)=x$$
   合并两类，推出最终公式：
   $$ans=x+k\mathrm{mod}(y-1)$$
2. 只做第一步优化连样例都过不了，因为数据给大之后凑整除需要的累加次数也会很大，很容易就超了，所以还要优化累加操作。
   比如要让 $16$ 被 $5$ 整除，很容易想到要凑 $20$，也就是说找到 $5$ 在 $16$ 后的一个倍数，首先确定 $5$ 在 $16$ 大约是 $\frac{16}{5}$ 倍，显然下一个倍数就是 $\lceil \frac{16}{5}\rceil \times 5=20$，也就是说，每次直接加上
   $$op=\lceil \frac{x}{y}\rceil \times y-x$$
   就行了。
   当然如果这里使用 ceil 做取整运算还是超，因为这玩意其实是 double __cdecl ceil(double _X);，并非是对整型的运算，算多了效率挺低，因此数学代换一下就成了（当然这个除是整除）：
   $$op=(\frac{x}{y}+1)\times y-x$$
   第一个公式单从数学意义上来说，对于 $y\in Z,op\ge x\ge 0$ 好像没问题，但不要忘了这是整除，会出现 $\frac{x}{y}=0$ 的情况，因此要确保每次至少加 $1$，同时还要确保每次累加操作不超过当前的剩余操作次数 $k$。
   由于每次加都至少可以整除一次，所以每次操作至少将当前数减少
   $$\lceil \frac{x+1}{y}\rceil ,y\ge 2$$
   显然时间复杂度优于二分，为 $O(\log n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename A, typename B>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<A, B> &p)
{
    return os << '(' << p.first << ", " << p.second << ')';
}
template<typename C,typename D = typename enable_if <!is_same<C, string>::value,typename C::value_type>::type>
ostream &operator<<(ostream &os, const C &v)
{
    os << '{';
    string sep;
    for (const D &x : v)
        os << sep << x, sep = ", ";
    return os << '}';
}

void dbg_out()
{
    cerr << endl;
}
template <typename Head, typename... Tail>
void dbg_out(Head H, Tail... T)
{
    cerr << ' ' << H;
    dbg_out(T...);
}
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define dbg(...) cerr << "(" << #__VA_ARGS__ << "):", dbg_out(__VA_ARGS__)
#else
#define dbg(...)
#endif

int ____________________CYCLE____________________;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define inf INT32_MAX
#define i64 int64_t
const int N = 1e5;

void solve(int cycle);

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen(".\\in.txt","r",stdin);
    freopen(".\\out.txt","w",stdout);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);


    int _=1;
    cin >> _;
    //cout << "Case #" << _ << ": " << endl;
    for(____________________CYCLE____________________=1;____________________CYCLE____________________<=_;____________________CYCLE____________________++){
        //cout << ____________________CYCLE____________________ << ":\n";
        solve(____________________CYCLE____________________);
    }
    
}
void solve(int cycle){
    int x,y,k;
    cin >> x >> y >> k;
    int cnt = 0;
    while(x != 1 && k > 0){
        //dbg(ceil(x / y) - x);
        int op = (x / y + 1)*y - x;
        op = max(1,op);
        op = min(op,k);
        //dbg(x);
        x += op;
        while(x % y == 0){
            x /= y;
            //dbg(x);
        }
        k -= op;
    }
    dbg(cycle,x,y,k);
    if(x == 1){
        int num = 1 + (k % (y-1));
        cout << num << endl;
    }else{
        cout << x << endl;
    }
}