B3634 最大公约数和最小公倍数

题目描述

给定两个正整数 a,b，求他们的最大公约数（gcd）和最小公倍数（lcm）。这两个整数均在 int 范围内。

输入格式

两个整数 a 和 b，用空格分隔。

输出格式

两个整数表示答案，用空格隔开。

输入输出样例

输入 #1

6 15

输出 #1

3 30

 思路

给定正整数 a,b，输出 gcd(a,b) 和 lcm(a,b)。

先来看怎么求 gcd(a,b)。

公约数：若 q 为一个数，∀q∈Z+ 且 a mod q=0,b mod q=0，则我们称 q 为 a,b 的公约数。

最大公约数：能被 a,b 同时整除的最大正整数。

辗转相除法，即欧几里得算法，可以解决最大公约数的问题。

公式为 gcd(x,y)=gcd(y,xmody) (x>y,xmody=0)

那怎么证明它呢？

我们设 c=gcd(a,b)，我们知道对于两个数 a,b，若：

• a,b∈Z，且 a=0；
• 如果存在一个数 q，使 b=a×q。

则 b 可被 a 整除，记作 a∣b，b 是 a 的倍数，a 是 b 的约数。

所以存在两个数 x,y，使得 a=xc,b=yc。

再设 r=amodb，那么根据余数的性质，存在 k 使得 r=a−kb=xc−kyc=(x−ky)c。

所以：

gcd(b,amodb)=gcd(b,r)=gcd(yc,(x−ky)c)=gcd(y,x−ky)c

那么，c 就是 a 和  mod  a mod b 的公约数。

再设 d=gcd(y,x−ky)，那么存在 m,n 使得 y=md,x−ky=nd。

所以：x=nd+ky=nd+kmd=(n+km)d

我们得到：

a=xc=(n+km)dc

b=yc=mdc

继而得到：

gcd(a,b)=gcd((n+km)dc,mdc)=dc

在前面我们知道 gcd(a,b)=c，所以 d=1。

所以 gcd(y,x−ky)=1，得到 gcd(b,a mod b)=c。

所以 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。

 完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int long long a,b,c,d; 
int main(){
    cin>>a>>b;
    c = a;
    d = b;
    if(b>a)c = b,d = a;
    for(int i=d;i>0;i--)
        if(a%i==0&&b%i==0){
            cout<<i<<" "<<a*b/i;
            break; 
        }
    return 0;
}