公交车路线

最新推荐文章于 2025-11-24 13:22:53 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-24 13:22:53 发布 · 419 阅读

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#矩阵 #动态规划 #算法 #c++

博客内容探讨了一种解题策略，通过观察矩阵的对称性和递推关系简化问题。首先，矩阵的F到D列是对称的，进一步简化成以A列对称的矩阵。然后，注意到当换车数为奇数时，E列的值始终为0。对于偶数情况，发现E(n)等于G(n-2)的两倍，并通过递推公式G(n) = G(n-1) + H(n-1)，H(n) = G(n-1) + H(n-1)*2来计算。博主给出了C++代码实现，用于计算给定换车数的E值。

解题思路（找规律）

由题意可以做出如下图矩阵。

换车数n\车站	F	G	H	A	B	C	D	E
1	0	0	1	0	1	0	0	0
2	0	1	0	2	0	1	0	0
3	1	0	3	0	3	0	1	0
4	0	4	0	6	0	4	0	2
5	4	0	10	0	10	0	4	0
6	0	14	0	20	0	14	0	8
7	14	0	34	0	34	0	14	0
8	0	48	0	68	0	48	0	28
9	48	0	116	0	116	0	48	0

不难发现F列到D列是以A列为对称轴的对称矩阵，所以可以简化为如下矩阵。

换车数n\车站	F	G	H	A	E
1	0	0	1	0	0
2	0	1	0	2	0
3	1	0	3	0	0
4	0	4	0	6	2
5	4	0	10	0	0
6	0	14	0	20	8
7	14	0	34	0	0
8	0	48	0	68	28
9	48	0	116	0	0

又发现当n为奇数，E(n)必为0，所以接下来只有再另外讨论n为偶数的情况即可，当n为偶数时，不难发现E(n)=G(n-2)*2，而G(n)=F(n-1)+H(n-1)=G(n-2)+H(n-1)，综上，再者为了节省空间，再将矩阵定义为二维数组简化如下。

行坐标	G	H	n	E
0	1	1	4	2
1	4	3	6	8
2	14	10	8	28
3	48	34	10	96
4	164	116	12	328
…	…	…	…	…

E(n)=G((n-4)/2)*2，G(n)=(G(n-1)+H(n-1))*2，H(n)=G(n-1)+H(n-1)*2，由此便可求得答案。

代码

#include <iostream>
#define M 1000
using namespace std;
int gh[5000000][2];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    if(n%2==1){
        cout << 0 << endl;
    }else{
        gh[0][0] = gh[0][1] = 1;
        int end = (n - 4) / 2;
        for (int i = 1; i <= end;i++){
            gh[i][0] = (gh[i - 1][0] + gh[i - 1][1]) * 2 % M;
            gh[i][1] = (gh[i - 1][0] + gh[i - 1][1] * 2) % M;
        }
        cout << gh[end][0] * 2 % M << endl;
    }
    return 0;
}