蓝桥杯选拔赛：整数拼凑问题

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​ 分享一下最近广航ACM集训队举办的蓝桥杯选拔赛的“整数拼凑问题”，并分享我的解法（仅供参考）。

问题描述

将给定的正整数 n 拆分为若干个正整数之和的方案个数问题，要求所有的拼凑方案不重复。如 n=5，则对应的不重复的拼凑方案如下，共有 7 种。
5=5
5=4+1
5=3+2
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

请你计算：对于整数 n (0<n<=120)，一共有多少种拼凑方案?

输入格式

一行一个整数 n

输出格式

一行一个结果，即拼凑方案数

输入样例

5

输出样例

7

解题思路

当n=1，只有1=1这1种，n=2时，有2=2和2=1+1这两种，n=3时，有3=3、3=2+1、3=1+1+1三种，n=4时，有4=4、4=3+1、4=2+2、4=2+1+1、4=1+1+1+1五种，我们把等号左边的数称为组合数，等号右边的数称为拆分数，为了试着找出规律，我们暂时先列出1个如下4乘4的矩阵a，第i行j列代表组合数为i且最大拆分数为j的拼凑方案，则第i行的数据之和就表示对于i的总拼凑方案

i\j	1	2	3	4
1	1	0	0	0
2	1	1	0	0
3	1	1	1	0
4	1	2	1	1

比如第3行2列为1，表示组合数为3且最大拆分数为2的拼凑方案只有1，即3=2+1。

易知拆分数最大只能是其组合数本身，所以这是个下三角矩阵，要想知道整数n有多少拼凑方案，只要将矩阵的第n行数据加起来就是了，即将n的最大值分别为1、2、3……n的拼凑方案加起来。

这就需要求第i行j列的数据，即组合数为i且最大拆分数为j的拼凑方案，已知最大拆分数为j则其余几项拆分数之和为 (i-j) ，所以第i行j列的数据等于第 (i-j) 行的第1列到第j列或第(i-j)列（较小列）的数据之和（i>j），除此之外还有一种较为特别的情况，即i=j时，不存在第i-j=0行，所以这里直接给所有i=j的数据赋为1，即n=n的那一种拼凑方案，而i<j的情况前面已经讲过拆分数最大只能是其组合数本身，所以直接是0。

综上，a[i] [j]={

1，i=j

0，i<j

a[i-j] [1]+a[i-j] [2]+a[i-j] [3]+……+a[i-j] [i-j]，i-j<=j

a[i-j] [1]+a[i-j] [2]+a[i-j] [3]+……+a[i-j] [j]，i-j>j

}，由这个公式我们便能算出这整个矩阵，也就可以算出整数n有多少拼凑方案了

代码

#include"stdio.h"
int main(){
    int n,a[121][121]={0},an=0;
    scanf("%d",&n);
    int i,j;
    a[1][1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=i;j++){
            for(int k=1;k<=i-j&&k<=j;k++){
                a[i][j]+=a[i-j][k];
            }
        }
        a[i][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        an+=a[n][i];
    }
    printf("%d",an);
    return 0;
}