POJ-2135 Farm Tour(费用流)

题意：

农场有N块田(1...N)，1号是FJ住的房子，N号是大型仓库，一些田之间有双向路连接，且有一个路径长度，从房子出发到达大型仓库，然后再回到房子，要求对于每条路，只能走一次，求往返的最短距离。

思路：

经典费用流问题。我们可以通过设置一条边上的流量为1来表示每条边只走一次的限制，然后每个边的花费就是该路径长度。所以最关键的是如何表示我们要求两条最短路呢，我们去看每个点被选择了多少次，只有发现起点1和终点N各被选择了两次，其它点都只选择了一次，因此问题就变成了：最大流为2的时候最小费用为多少。所以我们建立一个超级源点连接1号点，容量为2，花费为0，即可实现选择1号点两次，同理建立一个超级汇点连接n号点，容量为2，花费为0，实现选择n号点两次。其它节点容量为1，花费为路径长度。

注意：

其实只建立一个超级源点或者只建立一个超级汇点也可行，其实就是一个点选择两次，另一个点选择无限制次，所以这样也可行。另外图是无向图，所以要在加边时，原图中的一条边要变成网络流图中的两条边（如果把反向负权费用边也算上就总共4条边）。

反思：

无向图对于一条无向边需要建立四条边：u->v边及其反向边和v->u及其反向边，无向图一条边的对应边存在是不会影响反向边的作用的，也不会造成其他影响。以前一直以为反向边和当前边在无向图中的相对边是一个概念，其实不是，而且这也打消了之前的一个疑惑：存在一个已经存在的边的对应边网络流会出错误。所以以后是有向图就建一条边及其反向边，是无向图就建两条相对的边及它们的反向边即可。

收获：

利用费用流解决问题，要抓住三点：一，费用是结果，所以题目本身需要时最值关系。二，最大流是条件，是关键也是难点，需要把题目中隐藏的最值条件挖掘出来。三，利用题目的限制条件来构造网络图。(参考)

代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1005;
const int maxm = 100020;
struct node
{
	int v, c, w, next;
} edge[maxm];
int no, head[maxn];
int n, m;
int S, T;
int vis[maxn], dis[maxn];
queue<int> q;
int pre[maxn], rec[maxn];
inline void init()
{
	no = 0;
	memset(head, -1, sizeof head);
}
inline void add(int u, int v, int w, int c)
{
	edge[no].v = v; edge[no].w = w;
	edge[no].c = c; edge[no].next = head[u];
	head[u] = no++;
	
	edge[no].v = u; edge[no].w = 0;
	edge[no].c = -c; edge[no].next = head[v];
	head[v] = no++;
}
bool SPFA()
{
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	while(!q.empty()) q.pop();
	pre[S] = S; dis[S] = 0;
	q.push(S); vis[S] = 1;
	while(!q.empty())
	{
		int top = q.front(); q.pop();
		vis[top] = 0;
		for(int k = head[top]; k != -1; k = edge[k].next)
		{
			if(edge[k].w && dis[edge[k].v] > dis[top]+edge[k].c)
			{
				dis[edge[k].v] = dis[top]+edge[k].c;
				pre[edge[k].v] = top; rec[edge[k].v] = k;
				if(!vis[edge[k].v]) 
				vis[edge[k].v] = 1, q.push(edge[k].v);
			}
		}
	}
	if(dis[T] == inf) return false;
	return true;
}
pair<int, int> mincost_maxflow()
{
	int mincost = 0, maxflow = 0;
	while(SPFA())
	{
		int flow = inf;
		for(int k = T; k != S; k = pre[k])
		flow = min(flow, edge[rec[k]].w);
		maxflow += flow;
		for(int k = T; k != S; k = pre[k])
		{
			mincost += flow*edge[rec[k]].c;
			edge[rec[k]].w -= flow;
			edge[rec[k]^1].w += flow;
		}
	}
	return make_pair(maxflow, mincost);
}
int main()
{
	int u, v, c;
	scanf("%d %d", &n, &m); init();
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &c);
		add(u, v, 1, c);
		add(v, u, 1, c);
	}
	S = 0, T = n+1;
	add(S, 1, 2, 0);
	add(n, T, 2, 0);
	pair<int, int> pr = mincost_maxflow();
	printf("%d\n", pr.second);
	return 0;
}

继续加油~