HYSBZ-3229 石子合并(GarsiaWachs算法优化)

题意：

现在有n堆石子，第i堆有ai个石子。现在要把这些石子合并成一堆，每次只能合并相邻两个，每次合并的代价是两堆石子的总石子数。求合并所有石子的最小代价。

对于 100% 的数据，1≤N≤40000; 对于 100% 的数据，1≤A≤200

思路：

可以发现朴素的区间dp已经不足以解决这个问题了。对于石子合并问题，有一个最好的算法，那就是GarsiaWachs算法。时间复杂度为O(n^2)。

设序列是stone[maxn]，从左往右，找到一个最小的且满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找一个j满足stone[j] >= stone[k]+stone[k-1]，然后把stone[k]+stone[k-1]插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。
另外在这个过程中，可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的，可省略边界的判别。把stone[0]设为inf, stone[n+1]设为inf-1，可实现剩余一堆石子时自动结束。

举个例子：
186 64 35 32 103
因为35<103，所以最小的k是3(下标从0开始)，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个大于等于67的数，把67插入到他后面，得到：186 67 64 103,现在由5个数变为4个数了，继续：186 131 103，之后得到234 186，k=2（别忘了，设A[-1]和A[n]等于正无穷大），最后得到420。最后的答案呢？就是各次合并的重量之和，即420+234+131+67=852。

基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化，使得最终复杂度为O(nlogn)。

(分析部分转自http://www.cnblogs.com/jiu0821/p/4493497.html)

Code：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 40005;
int stone[maxn], n, ans, t;
void combine(int k);
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	stone[0] = inf; stone[n+1] = inf-1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d", &stone[i]);
	ans = 0; t = 3;
	for(int i = 3; i <= n+1; ++i)
	{
		stone[t++] = stone[i];
		while(stone[t-3] <= stone[t-1])
			combine(t-2);
	}
	while(t > 3) combine(t-1);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}
void combine(int k)
{
	int tmp = stone[k-1]+stone[k];
	ans += tmp;
	--t;
	for(int i = k; i < t; ++i) stone[i] = stone[i+1];
	int j;
	for(j = k-1; stone[j-1] < tmp; --j)
		stone[j] = stone[j-1];
	stone[j] = tmp;
	while(j >= 2 && stone[j] >= stone[j-2])
	{
		int d = t-j;
		combine(j-1);
		j = t-d;
	}
}

继续加油~