学习笔记-斐波那契数列问题

Fibonacci数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

从第三项开始，每项的结果为前两项之和

关于Fibonacci数列的计算不多介绍，详细见如下链接中：

http://www.cnblogs.com/CCBB/archive/2009/04/25/1443441.html

这几天在面试题中看到有很多可以转化为Fibonacci数列的，应用很巧妙，主要列举几题，以后记得要举一反三。

问题1：n位01组合，没有两个1是直接相连的，有多少种排列组合方式

由问题可知：

f(k=1) = 2; 0、1

f(k=2) = 3; 01 、10、 00  

f(k=3) = f(k=2) + f(k=1)  \\ 在 f(k=2) 后直接填 0 或者在最后一位为1的数列( 这样的数列个数 = f(k=1) )后加1

……

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

所以有f(k=n) = Fibonacci(n-2);

问题2：跳台阶问题

有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

典型的Fibonacci数列问题，F(N) = F(N-1) + F(N-2)

上到第10级台阶的走法 = 上到第9级后跨一级 + 上到第8级后跨两级

问题3：对于一个整数，如果是偶数则/2，是奇数则+1，直到=1位置。求经过n次操作变为1的数有多少个?

假设n次操作后变为1的数中偶数有a[N]个，奇数为b[N]个

则有F(N) = a[N] + b[N]

推理n+1次

a[N+1] = a[N] + b[N]

b[N+1] = a[N]

所以

F[N+1] = a[N+1] + b[N+1] 

     = a[N] + b[N] +  a[N] 

     = F[N] + a[N-1] + b[N-1] 

             =  F[N] +  F[N-1] 

满足Fibonacci数列，兔子问题也如是说，把成兔看做偶数，把幼兔看做奇数