【中等】力扣算法题解析LeetCode308：二维区域和检索－矩阵可修改

关注文末推广名片，即可免费获得本题测试源码！

题目来源：🔒308：二维区域和检索－矩阵可修改

问题抽象： 设计一个类 NumMatrix，用于高效处理 动态二维整数矩阵的任意子矩阵和查询与单点修改，满足以下核心需求：

1. 类功能定义：

   • 初始化：接收二维整数矩阵 matrix 并构建支持动态操作的数据结构；
   • 更新方法：update(int row, int col, int val) 将 matrix[row][col] 的值修改为 val；
   • 查询方法：sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) 返回以 (row1, col1) 为左上角、(row2, col2) 为右下角的矩形区域元素和（包含边界）。

2. 操作约束：

   • 初始化效率：构造函数时间复杂度 O(mn)（允许预处理，m×n 为矩阵尺寸）；
   • 更新高效：update 方法时间复杂度 O(log m × log n)（避免重构全矩阵）；
   • 查询高效：sumRegion 方法时间复杂度 O(log m × log n)（避免扫描子矩阵）；
   • 空间复杂度 O(mn)：额外存储结构尺寸与输入矩阵相当。

3. 输入输出：

   • 输入矩阵 matrix：尺寸 m×n（1 ≤ m, n ≤ 200），元素值 -10^5 ≤ matrix[i][j] ≤ 10^5；
   • 更新参数：0 ≤ row < m, 0 ≤ col < n，新值 val（整数）；
   • 查询参数：0 ≤ row1 ≤ row2 < m, 0 ≤ col1 ≤ col2 < n；
   • 输出：区域和（整数）。

4. 边界处理：

   • 空矩阵：m=0 或 n=0 时，更新/查询操作仍可执行（返回 0 或无操作）；
   • 单点更新后查询：如 update(0,0,5) 后 sumRegion(0,0,0,0) 返回 5；
   • 大区域查询：如 sumRegion(0,0,m-1,n-1) 返回矩阵总和；
   • 高频操作：支持 10^4 次更新和查询操作（总调用次数上限）。

类接口定义：

class NumMatrix {
   
     
    public NumMatrix(int[][] matrix);  // 初始化  
    public void update(int row, int col, int val);  // 单点修改  
    public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2);  // 区域和查询  
}  

应用场景：实时更新的网格数据统计（如动态图表、游戏地图状态监控）。

---

解题思路

核心问题：在动态更新的二维矩阵中高效计算任意矩形区域的和，需同时优化 update 和 sumRegion 操作的时间复杂度。

算法选型：二维树状数组（Binary Indexed Tree）

• 为什么选择树状数组？
  传统二维前缀和在更新时需要 O(mn) 时间重建，不适用于频繁更新场景。树状数组支持：

  • 单点更新：时间复杂度 O(log m * log n)。
  • 区间求和：时间复杂度 O(log m * log n)。
    适合本题更新和查询均匀调用的场景。

• 二维树状数组原理：

  1. 数据结构：维护一个二维数组 tree，其中 tree[i][j] 存储从 (i - lowbit(i) + 1, j - lowbit(j) + 1) 到 (i, j) 的矩形区域