[形象的解释神经网络激活函数的作用是什么?]

查阅资料和学习,大家对神经网络中激活函数的作用主要集中下面这个观点:
  • 激活函数是用来加入非线性因素的,解决线性模型所不能解决的问题。
下面我分别从这个方面通过例子给出自己的理解~
@lee philip@颜沁睿俩位的回答已经非常好了,我举的例子也是来源于他们,在这里加入了自己的思考,更加详细的说了一下~
开讲~

首先我们有这个需求,就是二分类问题,如我要将下面的三角形和圆形点进行正确的分类,如下图:


利用我们单层的感知机, 用它可以划出一条线, 把平面分割开:

上图直线是由w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2}+b=0 得到,那么该感知器实现预测的功能步骤如下,就是我已经训练好了一个感知器模型,后面对于要预测的样本点,带入模型中,如果y>0,那么就说明是直线的右侧,也就是正类(我们这里是三角形),如果y<0,那么就说明是直线的左侧,也就是负类(我们这里是圆形),虽然这和我们的题目关系不大,但是还是提一下~
好吧,很容易能够看出,我给出的样本点根本不是线性可分的,一个感知器无论得到的直线怎么动,都不可能完全正确的将三角形与圆形区分出来,那么我们很容易想到用多个感知器来进行组合,以便获得更大的分类问题,好的,下面我们上图,看是否可行:


好的,我们已经得到了多感知器分类器了,那么它的分类能力是否强大到能将非线性数据点正确分类开呢~我们来分析一下:
我们能够得到
y=w_{2-1}(w_{1-11}x_{1}+ w_{1-21}x_{2}+b_{1-1} )+ w_{2-2}(w_{1-12}x_{1}+ w_{1-22}x_{2}+b_{1-2} )+w_{2-3}(w_{1-13}x_{1}+ w_{1-23}x_{2}+b_{1-3} )
哎呀呀,不得了,这个式子看起来非常复杂,估计应该可以处理我上面的情况了吧,哈哈哈哈~不一定额,我们来给它变个形.上面公式合并同类项后等价于下面公式:
y=x_{1}(w_{2-1}w_{1-11}+w_{2-2}w_{1-12} +w_{2-3}w_{1-13} )+x_{2} (w_{2-1}w_{1-21}+w_{2-2}w_{1-22} +w_{2-3}w_{1-23} )+w_{2-1} b_{1-1} +w_{2-2} b_{1-2}+w_{2-3} b_{1-3}
啧啧,估计大家都看出了,不管它怎么组合,最多就是线性方程的组合,最后得到的分类器本质还是一个线性方程,该处理不了的非线性问题,它还是处理不了。
就好像下图,直线无论在平面上如果旋转,都不可能完全正确的分开三角形和圆形点:



既然是非线性问题,总有线性方程不能正确分类的地方~
那么抛开神经网络中神经元需不需要激活函数这点不说,如果没有激活函数,仅仅是线性函数的组合解决的问题太有限了,碰到非线性问题就束手无策了.那么加入激活函数是否可能能够解决呢?
在上面线性方程的组合过程中,我们其实类似在做三条直线的组合,如下图:


下面我们来讲一下激活函数,我们都知道,每一层叠加完了之后,我们需要加入一个激活函数(激活函数的种类也很多,如sigmod等等~)这里就给出sigmod例子,如下图:



通过这个激活函数映射之后,输出很明显就是一个非线性函数!能不能解决一开始的非线性分类问题不清楚,但是至少说明有可能啊,上面不加入激活函数神经网络压根就不可能解决这个问题~
同理,扩展到多个神经元组合的情况时候,表达能力就会更强~对应的组合图如下:(现在已经升级为三个非线性感知器在组合了)



跟上面线性组合相对应的非线性组合如下:




这看起来厉害多了,是不是~最后再通过最优化损失函数的做法,我们能够学习到不断学习靠近能够正确分类三角形和圆形点的曲线,到底会学到什么曲线,不知道到底具体的样子,也许是下面这个~




那么随着不断训练优化,我们也就能够解决非线性的问题了~
所以到这里为止,我们就解释了这个观点,加入激活函数是用来加入非线性因素的,解决线性模型所不能解决的问题。

注:参考于@lee philip@颜沁睿俩位的回答,以上图片大部分摘自于@颜沁睿
感谢郭江师兄,森栋师兄,德川的讨论交流~
希望知友提出问题一起交流~
原文链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/25279356
最近开通了个人公众号 [忆臻笔记] 或者微信号 [yizhennotes],用于记录自己在本科,硕士甚至博士期间关于ml,nlp学习和生活的笔记和感悟,可能没有很难很偏的知识,但一定是我理解的干货~欢迎扫描下面二维码关注一波~期待和你一起学习交流~



<think>嗯,用户想了解非线性神经网络的定义及其与线性神经网络的区别。这个问题很有深度,我能看出用户对神经网络的核心特性特别感兴趣,可能是刚入门想打好基础,也可能是在实际应用中遇到了区分需求。用户提到希望参考站内引用材料,我注意到引用中强调了线性网络的局限性和非线性网络的适应性优势。引用中特别指出线性神经网络基于简单的线性组合方式处理数据,而非线性网络借助复杂的非线性变换处理更多样化的数据模式。这应该是回答的重要依据。我需要在解释定义时突出激活函数的关键作用,因为这是区分线性和非线性的核心标志。根据引用材料,非线性神经网络能够实现复杂的非线性映射,这种分布式存储特性是线性网络完全不具备的。可以形象解释:线性神经网络就像用直尺画画,只能画直线;而非线性神经网络像用毛笔,可以画出任意曲线。主要区别对比需要分维度呈现。我计划从数学本质(线性组合vs非线性变换)、结构特点(无激活函数vs有激活函数)、能力边界(仅线性可分问题vs任意复杂模式)、实际应用(简单任务vs计算机视觉/自然语言处理等复杂领域)四个层面展开。每个层面都要关联引用中的关键论点,特别是非线性网络"分布式存储映射规则"这个独特性质。用户可能还想知道为何非线性网络能突破线性限制,这可以自然引出激活函数的讨论。解释时需要强调函数非线性特性(如ReLU的折线、sigmoid的S曲线)如何组合出复杂决策边界。最后要用可视化比喻帮用户建立直觉理解,比如二维平面的螺旋分类案例就很典型。需要确保所有公式都正确呈现:线性网络用$y=Wx+b$,非线性网络则要体现激活函数$f()$的嵌套结构。可能还需要举例说明异或问题的经典案例,这是线性网络永远无法解决的痛点。</think> ### 非线性神经网络的定义与核心对比 #### **一、非线性神经网络的定义** 非线性神经网络是通过引入**非线性激活函数**(如 Sigmoid、ReLU、Tanh),使网络具备学习和表示复杂非线性关系能力的模型。其数学表达为: $$ \mathbf{y} = f_n(\mathbf{W}_n \cdots f_1(\mathbf{W}_1\mathbf{x} + \mathbf{b}_1) \cdots + \mathbf{b}_n) $$ 其中 $f_i$ 是非线性函数。此类网络能拟合任意复杂函数(由**通用近似定理**保证),实现输入数据到输出目标的非线性映射[^1][^2]。 #### **二、非线性 vs 线性神经网络的核心差异** | **维度** | **线性神经网络** | **非线性神经网络** | |------------------|------------------------------------------|----------------------------------------| | **数学本质** | $ y = \mathbf{Wx} + \mathbf{b} $ (纯线性组合) | $ y = f(\mathbf{Wx} + \mathbf{b}) $ (含非线性变换) | | **结构特点** | 无激活函数或仅线性激活 | 必须包含至少一层非线性激活函数 | | **能力边界** | 仅解决线性可分问题(如直线分类) | 解决非线性问题(如螺旋分类、图像识别) | | **决策边界** | 超平面(直线/平面) | 任意复杂曲面 | | **典型应用** | 线性回归、简单滤波 | 图像识别、自然语言处理、复杂预测 | #### **三、关键区别解析** 1. **非线性变换的核心性** - **线性网络**:输出始终是输入的加权和,无法表示异或(XOR)等基础非线性问题。 - **非线性网络**:激活函数(如 ReLU)将线性组合**弯曲**,叠加多层后形成复杂决策边界。例如: $$ \text{ReLU}(\mathbf{W}_2 \cdot \text{ReLU}(\mathbf{W}_1\mathbf{x})) $$ 两层 ReLU 即可拟合任意连续函数[^1]。 2. **模型表达能力** - 线性模型受限于**秩**与**维度**,只能表达线性关系。 - 非线性网络通过层级堆叠,形成**复合函数**,学习数据中的高阶交互特征(如纹理、语义)[^2]。 3. **实际应用对比** - **线性网络适用场景**:数据线性可分、低维特征(如房价与面积的简单回归)。 - **非线性网络主导领域**: - 计算机视觉(CNN 捕捉空间非线性特征) - 自然语言处理(LSTM/Transformer 建模时序依赖) - 复杂系统预测(如股票波动、蛋白质结构)[^2]。 > **可视化理解**:想象二维平面上的两类数据点: > - 线性网络只能用直线分割(图左)。 > - 非线性网络可构造螺旋边界包裹不同类别(图右)。 > 当数据呈螺旋分布时,线性模型准确率仅 50%(随机猜测),而含 ReLU 的两层网络可达 98%+。 #### **四、为何非线性能力至关重要?** 现实世界的数据(图像、语言、物理系统)本质是非线性的。若限定于线性变换,则无法处理: - **特征交互**:像素组合形成边缘→纹理→物体部件 - **动态系统**:混沌系统(如天气预测)的敏感性 - **抽象概念**:从“红色圆形”到“苹果”的语义跃迁 > **引用总结**:非线性神经网络通过分布式连接存储复杂映射规则,突破线性模型的表达能力瓶颈,成为人工智能领域的核心引擎[^1][^2]。 --- **相关问题** 1. 激活函数(如 Sigmoid、ReLU)如何具体实现非线性变换? 2. 深度学习中为何ReLU比Sigmoid更常用? 3. 是否可以通过堆叠线性层模拟非线性?为什么? 4. 非线性神经网络在图像识别中的典型应用案例有哪些?
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