相邻两方格内的两个整数之和为质数-经典算法详解

 

为什么要详解？主要是因为我自己看的时候都花了很长时间才明白。

 

题目：

在9（3 x 3）个方格的方阵中填入数字1到N(N>=10)内的9个数字，使所有相邻两方格内的两个整数之和为质数（素数）,试求出所有满足要求的数字填充方案。

 

先画图：(3*3表格)

0	1	2
3	4	5
6	7	8

 

由于一维数组更好处理，所以变换成一维数组

a[10]:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

数据结构 1）

int checkM[9][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},

                 {0,-1},{1,3,-1},{2,4,-1},

                 {3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

这是干什么用的呢？

要是相邻方格的数字之和为质数，我们约定试探的时候按照[1…N]的顺序来试探。

这样的话，0号方格不需要和任何单元格匹配，因为他是第一个，所以checkM[0]={-1,0,0};

这说明a[0]不需要任何试探

 

再看i=1的时候

单元格1和0相邻，所以在单元格1中填入数字的时候要与0号格内的数字之和为质数。

所以checkM[1] = {0,-1,0};  【注】匹配的时候看到-1就不会继续向下走了。

 

在看i=4的时候

格4和格1,3,5,7相邻，但是由于我们约定了顺序，只需验证1,3是否合格即可，所以checkM[4]={1,3,-1};

 

……

 

上图易于理解：

0	1	2
3	4	5
6	7	8

 

 

	0	1	2
0	-1
1	0	-1
2	1	-1
3	0	-1
4	1	3	-1
5	2	4	-1
6	3	-1
7	4	6	-1
8	5	7	-1

 

数据结构 2）

b[N]

里面装着N个数字[1…N],如果哪个数字被选中拿到矩阵中去，那么就把它从数组b中清除（置零），下次就不会重复选择。如果不用了再置一。

 

程序段 1）

int selectNum(int start)

{ int j;

  for(j=start;j<=N;j++)

       if(b[j]!=0) return j;

  return 0;

}

从start开始选择以前没有被选过的数字

 

程序段 2）

int check(int pos)

{ int i;

  if(pos<0) return 0;

  i=0;

  while( checkM[pos][i]!=-1 )

  { if( !isPrime( a[pos]+a[ checkM[pos][i] ] ) ) return 0;

       i++;

  }

  return 1;

}

判断新选择的数字是否符合标准（和为质数）

While循环就是不断的判断a[pos]+a[ checkM[pos][i] ] 是否是质数。这样的好处就是在程序中省去了路径的判断，都则还要在程序中写

if (i-1 >= 0)

              {

                     // try {...}

              }

              if (i+1 < N)

              {

              }

              if (j-1 >= 0)

              {

              }

              if (j+1 < N)

              {

              }

来判断4个方向。

 

程序段 3）

int extend(int pos)

{ a[++pos]=selectNum(1);

  b[ a[pos] ] = 0;

  return pos;

}

 

如果当前a[pos]的值满足质数条件，那么该数字放置成功，下面是试探下一个pos。

a[++pos]=selectNum(1); 为下一个路径寻找可行的数字。

b[ a[pos] ] = 0; 将找到数字的可用性置零，即该数已经被引用，不能再选择了。

 

程序段4）

int change(int pos)

{ int j;

  while(pos>=0 && (j=selectNum( a[pos]+1 )) == 0)

       b[ a[pos--] ] = 1;

  if( pos < 0 ) return -1;

  b[ a[pos] ] = 1;

  a[pos] = j;

  b[j] = 0;

  return pos;

}

 

当一条路走不通，或者该路径的pos==8即该路径已经走完时，选择另一条合适的路径继续试探。

下面是pos == 8 的情况详解：

1.     j=selectNum( a[pos]+1 ) ，对于pos==8寻找下一个可行的数字。

2.     如果找不到，即j==0，那么b[ a[pos] ] = 1; 将这个数字退还给b数组，pos--，去试探pos==7是否还有可行的情况。

3.     if( pos < 0 ) return -1; 如果都试探过了，那么返回结束。

4.     否则

4.1   将原来a[pos]中的数据退还给数组b

4.2   将a[pos]中的数据置为j（即刚寻到的一个新数据）

4.3   将j在b数组中的位置置零，表示已经被引用

 

程序段5）

void find()

{ int ok=1, pos=0;

  a[pos]=1; b[ a[pos] ]=0;

              do

              {

                     if( ok ) {

                            if( pos == 8 )

                            {

                                   write(a);

                                   pos = change(pos);

                            } else {

                                   pos = extend(pos);

                            }

                     }

                     else

                            pos = change(pos);

                     ok = check(pos);

//printf("test %d %d %d/n",ok,pos,a[pos]);write(a);(void)getchar();

              } while(pos >= 0);

}

这是整体框架

懂了上面的，这个就不难了。

 

完整代码：

#include "stdio.h" #define N 12 int a[10],b[N]; int checkM[9][3]={​{-1},{0,-1},{1,-1}, {0,-1},{1,3,-1},{2,4,-1}, {3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}}; int isPrime( int k ) { int i; for( i=2; i<k/2; i++ ) if( k%i == 0 ) return (0); return (1); } void write(int a[]) { int i,j; for(i=0;i<3;i++) { for(j=0;j<3;j++) printf("%3d", a[3*i+j]); printf("/n"); } (void)getchar(); } int selectNum(int start) { int j; for(j=start;j<=N;j++) if(b[j]!=0) return j; return 0; } int check(int pos) { int i; if(pos<0) return 0; i=0; while( checkM[pos][i]!=-1 ) { if( !isPrime( a[pos]+a[ checkM[pos][i] ] ) ) return 0; i++; } return 1; } int extend(int pos) { a[++pos]=selectNum(1); b[ a[pos] ] = 0; return pos; } int change(int pos) { int j; while(pos>=0 && (j=selectNum( a[pos]+1 )) == 0) b[ a[pos--] ] = 1; if( pos < 0 ) return -1; b[ a[pos] ] = 1; a[pos] = j; b[j] = 0; return pos; } void find() { int ok=1, pos=0; a[pos]=1; b[ a[pos] ]=0; do { if( ok ) if( pos == 8 ) { write(a); pos = change(pos); } else pos = extend(pos); else pos = change(pos); ok = check(pos); //printf("test %d %d %d/n",ok,pos,a[pos]);write(a);(void)getchar(); } while(pos >= 0); } void main() { int i; for( i=1; i<=N; i++) b[i] = 1; find(); } // 在9（3 x 3）个方格的方阵中填入数字1到N(N>=10)内的9个数字， // 使所有相邻两方格内的两个整数之和为质数（素数）,试求出所有满足要求的数字填 充方案。 #include <stdio.h> #define N 12 #define MAX_STACK 0xff #define SUCCESS 1 #define ERROR 0xffff #define INVAILD -1 typedef struct _state { int num; // 当前格内的数字 int i,j; // 当前格的位置 int isPushed; // 该数字是否成功 }mtx_stat; int matrix[3][3] = {0}; int electingNum[N+1] = {0}; // 0 is presentation for not visited. // 1 is stand for visited this time. // 2 is stand for occupied. // electingNum[0] is not used. mtx_stat STACK[MAX_STACK] = {0}; int TOP=0; int isPrime(int k) { // judging the number is prime number or not } int seekNum() { // seek a proper number and send it to fillBox() // this num should be in [1...N] and not been visited } int returnNum(int num) { // return the number to the array. The array only can be visited by the two function } /* pos : * 1. (i-1,j) * 2. (i+1,j) * 3. (i,j-1) * 4. (i,j+1) */ int filleTry (mtx_stat stat, int pos) { int num1=0,num2=0; switch(pos) { case 1: num1 = matrix[stat.i-1][stat.j]; break; case 2: num1 = matrix[stat.i+1][stat.j]; break; case 3: num1 = matrix[stat.i][stat.j-1]; break; case 4: num1 = matrix[stat.i][stat.j+1]; break; default: return ERROR; } if (!num1) return INVAILD; // 表示不用再试探了，那个值还没有 num2 = seekNum(); while (1) { if (isPrime(num1+num2)) return SUCCESS; else { returnNum(num2); num2=seekNum(); // seekNum() 若是实在找不到了就返回0 if (num2 == 0) return INVAILD; } } } int fillBox() { int isOK; // 成功标志 mtx_stat ini_stat; ini_stat.i=0; ini_stat.j=0; ini_stat.isPushed=0; ini_stat.num=1; // initial state STACK[TOP++] = ini_stat; while (TOP > 0 && !isOK) // 这种栈，栈顶总是在最上面元素的上方 { ini_stat = STACK[--TOP]; // try 4 state (i-1,j) (i+1,j) (i, j-1) (i,j+1) if (ini_stat.i-1 >= 0) { // try {...} } if (ini_stat.i+1 < N) { } if (ini_stat.j-1 >= 0) { } if (ini_stat.j+1 < N) { } } }