Math:向量的点乘与叉乘

本文深入探讨了向量的内积(点乘)和外积(叉乘)的定义、运算过程及其几何意义。点乘结果是一个数值,用于衡量两向量的平行程度,而叉乘结果是一个向量,反映两向量的垂直程度。文章详细解析了向量运算的性质和运算律。

在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。

向量的内积(点乘:⋅\cdot

两个向量的内积又称为点乘、数量积和点积,其运算结果是一个没有方向的数量。设两个向量为a,b∈R3a,b\in R^3a,bR3 ,则这两个向量的点乘结果为:两向量对应分量的乘积和。如下为两向量的点乘的计算过程:

a⋅b=aTb=∑i=13aibi=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩,∣a∣=∑i=13ai2,∣b∣=∑i=13bi2a\cdot b=a^Tb=\sum_{i=1}^{3}a_ib_i=|a||b|cos\left \langle a,b \right \rangle,|a|=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}a_i^2},|b|=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}b_i^2}ab=aTb=i=13aibi=abcosa,b,a=i=13ai2,b=i=13bi2

其中,∣a∣,∣b∣|a|,|b|a,b分别为向量a,ba,ba,b的模或长度,⟨a,b⟩\left \langle a,b \right \ranglea,b为两向量的夹角。形式∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩|a||b|cos\left \langle a,b \right \rangleabcosa,b表明,当两个向量的夹角为90度时(cos90∘=0cos90^{\circ}=0cos90=0),两向量的点乘结果为0,此时两向量互相垂直,或者也可以称为两向量正交( 0 向量和任何向量都正交)。从此形式中,还可以发现∣a∣cos⟨a,b⟩|a|cos\left \langle a,b \right \rangleacosa,b就是 a 在 b 上的投影,那么点乘就是a 在 b 上的投影乘以 b 的长度,如此,两向量的点乘结果可以理解为用来衡量两个向量平行程度的一个数字特征,当两向量垂直时,平行程度最小,点乘值为0。

向量点乘的性质

  • a⋅a=∣a∣a \cdot a=|a|aa=a的平方。
  • a⊥b&lt;=&gt;a⋅b=0a \perp b &lt;=&gt; a \cdot b=0ab<=>ab=0
  • ∣a⋅b∣≤∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b|\leq |a| \cdot |b|abab。公式的证明:∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣⋅∣cosα∣|a \cdot b|= |a| \cdot |b| \cdot |cos\alpha|ab=abcosα,因为0≤∣cosα∣≤10\leq |cos\alpha|\leq 10cosα1,所以∣a⋅b∣≤∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b|\leq |a| \cdot |b|abab

向量点乘的运算律

  • a⋅b=b⋅aa \cdot b=b \cdot aab=ba(交换律)
  • (λa)⋅b=λ(a⋅b)(\lambda a) \cdot b= \lambda (a \cdot b)(λa)b=λ(ab)(结合律)
  • (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c(a+b)c=ac+bc (分配律)

向量的外积(叉乘:×\times×

两个向量的外积又称为叉乘、向量积和叉积,其运算结果是一个向量。设两个向量为a=(a1a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)Ta= (a_1a_2,a_3)^T,b=(b_1,b_2,b_3)^Ta=(a1a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T,则两向量的叉乘结果为:c=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)Tc = (a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^Tc=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)T。如下为两向量的叉乘的计算过程:

a×b=∥ijka1a2a3b1b2b3∥=[a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1]=[0−a3a2a30−a1−a2a10]b≡a∧ba \times b=\begin{Vmatrix} i &amp; j &amp; k\\ a_1 &amp; a_2 &amp; a_3\\ b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 \end{Vmatrix} =\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 &amp; -a_3 &amp; a_2\\ a_3 &amp; 0 &amp; -a_1\\ -a_2 &amp; a_1 &amp; 0 \end{bmatrix}b \equiv a^{\wedge}ba×b=ia1b1ja2b2ka3b3=a2b3a3b2a3b1a1b3a1b2a2b1=0a3a2a30a1a2a10bab

其中,引入了^符号,并将^记成一个反对称符号。如此,两向量间的叉乘a×ba\times ba×b可写成矩阵a∧a^{\wedge}a与向量bbb的乘法a∧ba^{\wedge}bab,即把叉乘变成了线性运算(a∧a^{\wedge}a表示为aaa对应的反对称矩阵)。若向量a,ba,ba,b不共线,则它们的叉乘结果是一个向量,a×ba \times ba×b的模是:∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩|a \times b|=|a||b|sin\left \langle a,b \right \ranglea×b=absina,b,类似的,∣a∣sin⟨a,b⟩|a|sin\left \langle a,b \right \rangleasina,b就是 aaabbb 垂直方向上的分量,所以两向量的叉乘可以表示两向量的垂直程度,当两个向量平行时(sin90∘=0sin90^{\circ}=0sin90=0),两向量的叉乘结果为0 ,垂直程度最小。

向量叉乘的性质

  • 假设两向量 aaabbb 的叉乘结果为向量 ccc,则 ccc 向量分别和两向量 aaabbb 正交(垂直),向量ccc 的方向可以由右手守则来判定。用右手食指指向 aaa,中指指向 bbb,此时大拇指的方向就是 ccc 的方向。
  • 向量与与自身的叉乘为0。假设t为一向量,则有:t×t=t∧t=0t \times t=t^{\wedge}t=0t×t=tt=0
  • a,ba,ba,b垂直,则∣a×b∣=∣a∣∗∣b∣|a \times b|=|a|*|b|a×b=ab,若a×b=0a \times b=0a×b=0,则a,ba,ba,b平行。
  • ∣a×b∣|a \times b|a×b是以aaabbb为边的平行四边形面积。

向量叉乘的运算律

  • a×b=b×aa \times b=b \times aa×b=b×a
  • (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)(\lambda a) \times b= \lambda (a \times b)=a \times (\lambda b)(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
  • a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b+c)=a \times b+a \times ca×(b+c)=a×b+a×c
  • (a+b)×c=a×c+b×c(a+b) \times c=a \times c+b \times c(a+b)×c=a×c+b×c

上面的两个分配律分别称为左分配律和右分配律。

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