图论基础和表示

图论基础和表示

以下参考菜鸟教程

一、基础概念

图论(Graph Theory)是离散数学的一个分支，是一门研究图(Graph)的学问。

图是用来对对象之间的成对关系建模的数学结构，由"节点"或"顶点"(Vertex）以及连接这些顶点的"边"（Edge）组成。

图的顶点集合不能为空，但边的集合可以为空。图可能是无向的，这意味着图中的边在连接顶点时无需区分方向。否则，称图是有向的。

图的分类：无权图和有权图，连接节点与节点的边是否有数值与之对应，有的话就是有权图，否则就是无权图。

图的连通性：在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点 i 到顶点 j 有路径相连（当然从j到i也一定有路径），则称 i 和 j 是连通的。如果 G 是有向图，那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。图的连通性是图的基本性质。

完全图：完全是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。

自环边：一条边的起点终点是一个点。

平行边：两个顶点之间存在多条边相连接。

二、基本应用

图可用于在物理、生物、社会和信息系统中建模许多类型的关系和过程，许多实际问题可以用图来表示。因此，图论成为运筹学、控制论、信息论、网络理论、博弈论、物理学、化学、生物学、社会科学、语言学、计算机科学等众多学科强有力的数学工具。在强调其应用于现实世界的系统时，网络有时被定义为一个图，其中属性(例如名称)之间的关系以节点和或边的形式关联起来。

三、图的表达形式

邻接矩阵：1 表示相连接，0 表示不相连。

邻接表：只表达和顶点相连接的顶点信息

邻接表适合表示稀疏图 (Sparse Graph)

邻接矩阵适合表示稠密图 (Dense Graph)

四、邻接矩阵和邻接表的代码示例

1、邻接矩阵

class DenseGraph(object):
    def __init__(self, vertex, edge, directed):
        #节点数
        self.vertex = vertex
        #边数
        self.edge = edge
        #是否有向图
        self.directed = directed
        #图的具体数据, 初始化为Fasle, 无任何边
        self.graph = [[False] * vertex for _ in range(vertex)]
    
    def getVertexNum(self):
        """获取节点个数"""
        return self.vertex
    
    def getEdgeNum(self):
        """获取边的个数"""
        return self.edge
    
    def addEdge(self, v, w):
        """向图中添加一个便"""
        assert v >= 0 and v < self.vertex
        assert w >= 0 and w < self.vertex
        #如果已经存在边了，直接返回
        if self.hasEdge(v, w):
            return
        self.graph[v][w] = True
        #非有向图, 双向的
        if not self.directed:
            self.graph[w][v] = True
        #边数加1
        self.edge += 1
    
    def hasEdge(self, v, w):
        """判断图中是否有从v到w的边"""
        assert v >= 0 and v < self.vertex
        assert w >= 0 and w < self.vertex
        return self.graph[v][w]

2、邻接表

class SparseGraph(object):
    def __init__(self, vertex, edge, directed):
        #节点数
        self.vertex = vertex
        #边数