[COCI2022-2023#1] Berilij 题解

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Solution

P9030 [COCI2022-2023#1] Berilij

本题解转载翻译自官方题解：COCI 2022/2023 CONTEST 1

Part 1

让我们定义图形 $G$，顶点代表飞船，边代表两艘飞船外部接触的情况。此外，让边的边权成为它所连接的圆之间的距离。

现在的任务等同于为顶点找到非负值，使得每条边所连接的两个顶点值之和等于这条边的边权，其中顶点值的平方和尽可能小。

如果顶点 $(i,j)$ 与边权为 $w_{i,j}$ 的边相连，则顶点值的条件 $v_i\ge 0$，$v_j\ge 0$ 与 $v_i+v_j=w_{i,j}$ 成立。

Part 2

在 Subtask 1 中，$G$ 是一个奇环。由于我们可以计算出每条边的值 $w_{i,j}$，所以我们可以唯一确定环中第二个顶点的值。

现在我们尝试将第一个顶点的值增加 $x$。为了满足条件，我们现在需要减少第二个顶点的值，然后增加第三个顶点的值……以此类推，直到我们绕回第一个顶点，新的条件是它的值必须是 $a-x$。

由于 $x=a-x$，我们可以唯一确定 $x$ 为 $x=\frac{a}{2}$。

现在我们只需检查将 $\frac{a}{2}$ 替换为第一个顶点的值是否会导致所有其他顶点的值为非负值。

Part 3

在 Subtask 3 中，$G$ 是一个森林，但只需对每棵树分别求解即可。

为了满足任务的条件，我们现在可以唯一确定每个顶点 $i$ 的值为线性多项式 $\pm x+c_i$，其中 $c_i$ 是一个常数，其值等于从顶点 i