欧拉筛法

设pr[i]为i最小质因子，然后从2开始计算
如果pr[i]没有在前面得到，就说明i是质数，所以pr[i]=i,prime[++len] = i。
对于i，枚举每一个不超过pr[i]的质数prime[j]，所以pr[ i*prime[j] ] = prime[j]
这样可以发现，每一个数只会被它最小的质因子筛去，所以保证了算法为O(n)的。

我们见一下代码：

void find_prime(int n)
{
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    sp = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++sp] = i;
            isprime[i] = i;
        }
        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {
            isprime[i*prime[j]] = prime[j];
            if(prime[j] >= isprime[i]) break;//用isprime[i]来表示i的最小质因子,可能用mod比较慢 
        }
    }
}

在break那一行，有的人会用 if(i % prime[j]==0) break;
不过也可以通过isprime[i]保存i最小的质因子来与prime[j]做比较。

欧拉函数

void find_prime(int n)
{
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    sp = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++sp] = i;
            isprime[i] = i;
            phi[i] = i-1;//①
        }
        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {
            isprime[i*prime[j]] = prime[j];
            if(prime[j] >= isprime[i]) {
                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];//②
                break;
            }
            phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);//③
        }
    }
}

先粗浅地看一下代码

原理

每个数字只会被筛到一次
当正整数p为素数时，phi[p] = p-1
欧拉函数既然是积性函数，就说明当a与b互质时，满足phi(a*b)=phi(a)*phi(b)
当p为素数时，phi(pk)=(p-1)*pk-1。
我们保证了每次的prime[j]小于等于i的最小质因子，所以当prime[j] < isprime[i]时，phi[ i*prime[i] ]=phi[i] * phi[j]=phi[i] * (j-1)，而在i%prime[j]==0时，直接乘上prim[j]。
上述的五点：1表明每个数值被算一次。2解释了①。3、4、5解释了②和③。