【离散数学-学习日记】2024-3-22

图的矩阵表示（接2024-03-19）

【定理3-1】设A为有向图D的邻接矩阵，V = {v₁,v₂，v₃，…v_n}为顶点集，则A的l次幂集A^l(l≥1)中的元素

例子

$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right]A^2=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 1\\ 2& 0& 1& 0\\ 2& 0& 0& 1\end{array}\right]A^3=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 4& 0& 1& 0\\ 3& 0& 0& 1\\ 3& 0& 1& 0\end{array}\right]A^4=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 5& 0& 0& 1\\ 4& 0& 1& 0\\ 4& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

PS:矩阵的乘法运算

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(1)中长度为1的通路为8条，其中有1条是回路。
D中长度为2的通路为11条，其中有3条是回路。
D中长度为3和4的通路分别为14和17条，回路分别为1与3条。
(2)D中长度小于等于4的通路为50条，其中有8条是回路。

2.可达矩阵
【定义】 设G=<V,E>是简单图，V = {v₁,v₂，v₃，…v_n}，一个n*n阶矩阵P=(p_ij)称为G的可达矩阵。其中：
$$P_{ij}={\{}_{0否则}^{1v_i到v_j可达（至少有一条通路）}$$
【求可达矩阵】
两种方法：
（1）按照矩阵相乘分别求出A_(k)(k≥2)，然后∨。
（2）用求传递闭包的Warshall算法。
由定义不难看出，G强连通当且仅当P(G)为全1矩阵 //图G中任意两个顶点都是相互可达的

//由于A⁽²⁾等于A⁽⁴⁾，我们只要求到A⁽⁴⁾即可
【用可达矩阵求强分图】
先将P转置的到P^T,如果v_i与v_j相互可达，则P_ij=P^T_ij=1
以G₂为例

//初等变换后，看可以出来v₁和v₃相互可达的，v₂、v₄、v₅相互可达。可以看出来，v₁和v₃构成了一个强分图，v₂、v₄、v₅构成了一个强分图。【关联矩阵】
①无向图的完全关联矩阵
【定义】设G=<V,E>是无向图，V = {v₁,v₂，v₃，…v_m}，E = {e₁,e₂，e₃，…e_n}，一个m*n阶矩阵M=(m_ij) 称为G的关联矩阵。其中：
$$m_{ij}={\{}_{0否则}^{1v_i到e_j关联}$$

【定义】
a)每列只有两个1
b)每列中1的个数来对应的结点的度数。
c)如果两类相同，则说明对应的两条边是平行边。
②有向图的完全关联矩阵
【定义】设D=<V,E>是简单有向图，V = {v₁,v₂，v₃，…v_m}，E = {e₁,e₂，e₃，…e_n}，一个m*n阶矩阵M=(m_ij) 称为G的关联矩阵。其中：
$$m_{ij}=\{\begin{array}{l}1v_i是e_i的起点\\ -1v_i是e_i的终点\\ 0v_i与e_i不关联\end{array}$$
【性质】
a)每列只有一个1个一个-1。(每条边只有一个终点和一个起点)
b)每行中1的个数为对应结点的出发，-1个数是结点的入度。

欧拉图、哈密图

历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图

从任意一个结点开始，经过所有边一次且仅一次，然后返回结点。
欧拉图（E图）定义
[欧拉通路]经过途中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的通路。
[欧拉回路]经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的回路。
[欧拉图]有欧拉回路的图。
[半欧拉图]有欧拉通路而无欧拉回路的图。

路径：b-a→a-e→e-b→b-f→f-a→a-d→d-e→e-f→f-d→d-c→c-b
说明：
- 规定平凡图为欧拉图。
- 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路。
- 环不影响图的欧拉性
欧拉图的实例

上图中，(1),(4)为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6)既不是欧拉图，也不是半欧拉图。
【定理4-1】无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点。
证明： 若G为平方图成立。设G为n阶m条边的无向图
必要性 设C为G中的一条欧拉回路。显然G是连通的。
∀a∈V(G)，a在C上每出现一次贡献2度，所以a为偶度顶点。由a的任意性，结论真。
充分性 通过构造方法来证明。

1. 设G是连通图且G中每一个顶点都有偶数度，构造从G的任意顶点a开始的简单回路，建立尽量长的简单通路(a,x₁),(x₁,x₂),…(x_n-1,x_n),(x_n,a)进行构造。如下图中(a,f),(f,c),(c,b),(b,a)。这样的通路必然结束，因为途中的边数是有穷的。
2. 若所有的边已用完，则欧拉回路构造完成。让否则从G中删除已经用过的边和不关联任何剩余边的顶点，的到子图H，如图中从，c，d，e构成的子图。因为G是连通的，所以H和已删除的回路至少有一个公共顶点w，然后在w上开始，构造新的回路，新的回路必然和原回路通过w拼接成G中的回路。
3. 继续这样的过程，直到用完所有的边为止，这样就产生出欧拉回路。
   

【定理4-2】无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点。
证明： 必要性简单
充分性（利用定理4-1）设u，v为G中的两个奇度顶点，令G‘=G⋃(u,v)，则G’连通且无奇度顶点，由定理4-1知G‘为欧拉图，因而存在欧拉回路C，令Γ=C-(u,v),则Γ为G中的欧拉回路。
理解： G有两个偶数度结点：就从一个奇数度结点出发，每当到达一个偶数度结点，必然可以再经过另一条边离开此结点，如此重复下去，经过所有边后到达另一个奇数度结点。

未完待续==未完待续==未完待续==未完待续==未完待续

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最短路径

平面图

对偶与着色

树（定义，生成树、根树）