动态规划背包问题——二维费用背包

二维费用背包：

问题背景：一个背包容量为V，最大承受重量为W，现在有N种物品，每种物品重w[i]，所占体积为c[i]，价值为v[i]，每种物品只有一件，问如何才能使背包中所装物品的总价值最大。
这里，我们的限制条件多了一个，重量也需要考虑的（毕竟背着累o(╥﹏╥)o），那么，我们的状态也加上一维就好了，这里给出状态转移方程。
f[j][u] = max{f[j – c[i]][u – w[i]] | j – c[i] >=0 &&u – w[i] >=0}
目标是f[V][W]
有了前面的基础，这个应该是很好理解的，下面给出代码：

for(int i = 1; i <= N; i++)
	for(int j = V; j >= c[i]; j--)
	for(int k = W; k >= w[i]; k--)
	f[j][k] = max(f[j][k], f[j - c[i]][k - w[i] + v[i]]);
	cout << f[V][K]

关于二维费用背包问题，还有另外一种说法，就是将重量这个现在条件改成了背包中的物品总数不能超过S，这个可以理解问每一件物品重量都是1，就很容易写出代码了：

for(int i = 1; i <= N; i++)
	for(int j = V; j >= c[i]; j--)
	for(int k = S; k >= 1; k--)
	f[j][k] = max(f[j][k], f[j - c[i]][k - 1] + v[i]);
	cout << f[V][S];

这里附上一道杭电oj 的题目：
问题描述：
最近xhd正在玩一款叫做FATE的游戏，为了得到极品装备，xhd在不停的杀怪做任务。久而久之xhd开始对杀怪产生的厌恶感，但又不得不通过杀怪来升完这最后一级。现在的问题是，xhd升掉最后一级还需n的经验值，xhd还留有m的忍耐度，每杀一个怪xhd会得到相应的经验，并减掉相应的忍耐度。当忍耐度降到0或者0以下时，xhd就不会玩这游戏。xhd还说了他最多只杀s只怪。请问他能升掉这最后一级吗？
Input:
输入数据有多组，对于每组数据第一行输入n，m，k，s(0 < n,m,k,s < 100)四个正整数。分别表示还需的经验值，保留的忍耐度，怪的种数和最多的杀怪数。接下来输入k行数据。每行数据输入两个正整数a，b(0 < a,b < 20)；分别表示杀掉一只这种怪xhd会得到的经验值和会减掉的忍耐度。(每种怪都有无数个)
Output:
输出升完这级还能保留的最大忍耐度，如果无法升完这级输出-1。
问题不难直接看AC代码吧：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring> 
using namespace std;
int f[1001][1001], c[101], v[101];
int main()
{
	int n, m, k, s;//n是还需要的经验值 m是忍耐度  k是种类 s是最多杀怪数
	while(scanf("%d%d%d%d",&n, &m, &k, &s) != EOF)
	{
		int ss = 0,book;
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(int i = 1; i <= k; i++)
		cin >> v[i] >> c[i];
		for(int i = 1; i <= k; i++)
		for(int j = c[i]; j <= m; j++)
		for(int p = 1; p <= s; p++)
		f[j][p] = max (f[j][p], f[j - c[i]][p - 1] + v[i]);
		for(int i = 1; i <= m; i++)
		for(int j = 1; j <= s; j++)
		if(f[i][j] >= n)//能够升级就退出循环 
		{
			ss = 1;
			book = i;
			goto end;
		}
		end :
			if(ss)
			cout << m - book << endl;
			else
			cout << "-1" << endl;
	 } 
	 return 0;
}

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