对称矩阵
1、性质:实对称矩阵的特征值为实数,特征向量正交
2、一个对称阵,可以分解为:A=SΛS−1=QΛQTA=SΛS−1=QΛQT
3、当阶数过多时,计算矩阵的特征值特征向量就成了问题,对于对称阵,这种较好的矩阵来说有比较好的性质,主元的符号与特征值的符号一致,也就是说正负特征值与正负主元的个数一致
正定矩阵
1、定义:正定矩阵首先是对称的
2、性质:所有的特征值为正,所有的主元为正,子行列式为正,xTAx>0xTAx>0
3、xTAxxTAx 可以将各种东西联系在一起,最小值,主元,等等。
4、主轴定理:特征向量代表了主轴的方向,特征值跟主轴的长度有关
复矩阵
1、当矩阵为复数时,对应对称矩阵的为埃尔米特矩阵,即定义:AH=AAH=A;相类似,类比于实矩阵中的正交阵为酉矩阵,定义有:QHQ=IQHQ=I