最小生成树

术语：

    树（Tree）：

             不含圈的连通图称为树。

     生成树（SpanningTree）：

             设T是图G的一个子图，如果T是一棵树，且v(T) = v（G），则称T是G的一个生成树。// v()为点集。

      最小生成树（MinimalSpanningTree):

             权值最小的生成树称为最小生成树。

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求解最小生成树问题，最常见的两种算法：Kruskal算法和Prim算法。

一、Prim算法：

基本概念：

       Prim算法是用于生成无向带权连通图的MST的一种算法，并且可以解决边权为负值的情况。Prim算法从任一顶点s开始，初始化V' =｛s｝，每次贪心地选取跨越V与V - V' 的最小边，扩大现有的子树V‘，直到其遍及图中的所有顶点。

算法流程：

       （1） 标记所有点为未访问，初始化距离数组

       （2） 选定任一顶点作为起点，标记其已访问，dist = 0

       （3） 找出所有未访问过的点中距离值最小的点u，标记u已访问，将最后一次松弛的边加入生成树

       （4） 用点u的相邻边进行松弛，被松弛的点v记录下（u,v）这条边

       （5） 重复操作（3）和（4）直到所有点都访问过

二、Kruskal算法：

基本概念：

        Kruskal算法将图中的每一顶点视为一个独立的集合，首先将图中的所有边按权值从小到大排序，接着按顺序选择每条边，如果这条边的两个端点不属于同一个集合，那么将它们所在的集合合并，同时将这条边加入边集E‘。直到所有的顶点都属于同一个集合时，E’就是一棵最小生成树。

算法流程：

        （1）将图G看做一个森林，每个顶点为一棵独立的树

        （2）将所有边加入集合S，即一开始S = E

        （3）从S中拿出一条最短的边(u,v)，如果u和v不在同一棵树内，连接u,v合并两棵树，同时将(u,v)加入生成树的边集E‘

        （4）重复（3）直至所有点属于同一棵树，边集E’就是一棵最小生成树