二分图的最大匹配_匈牙利算法

1. 二分图：在一个二分图中，所有的顶点都可以分为两个不相交的集合U和V，两个集合大小不一定相等，但每条边都连接两个集合中各一个顶点。

例如：

2. 二分图的匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是G的一个匹配。

（1）如果一条边e在M中，我们称边e是匹配的，否则称边e为自由的。

（2）如果一个顶点v和一条匹配的边关联，则称该点v是匹配的，否则称为点v为自由的。

3. 二分图的最大匹配：匹配M的规模定义为M中所有匹配边的数量，一个二分图的最大匹配是具有最大规模的匹配。

4. 二分图的完全匹配：一个二分图中的所有顶点被匹配，则称该二分图是完全匹配。

5. 增广路径：在一个无向图G=（V，E）中给定一个匹配，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配的边和未匹配的边）在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

例如：

子图M的匹配边集：M｛（1,3），（2,5）｝

点1，2，3，5是匹配的，点4和6是自由的；边（1，3）和（2，5）是匹配的，边（1，4）和（3，6）是自由的。

则有路径6-3-1-4是关于M的一条增广路径。

6. 拓展：

此时，我们将M中的边（1，3）去掉，增加边（1，4）和边（6，3），得到图M'：

可以看到，图M‘匹配数增加了1，即P(M’)=P(M)+1，其中P(x)为二分图x的匹配数。

由此我们得到了一个规律：

        一般来说，我们可以通过构造一条增广路径来扩大当前的匹配，这条路径一头连接U中的自由顶点，另一头连接V中的自由顶点，且路径上的边交替出现在E-M和M中。也就是说，路径上的第一条边不属于M，第二条边属于M，依此类推，直到最后一条不属于M的边。由于增广路径的长度总是奇数，把奇数边加入M，偶数边从M中去除，就可以生成一个新的匹配，该匹配比M多一条边。

因此，对于增广路径P，我们可以得出下面的三个结论：

（1）P的长度必定为奇数，且第一条边和最后一条边都不属于M。

（2）P经过取反操作后可以得到一个更大的匹配M‘。

（3）M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

        由此，就得到了一个构造二分图最大匹配的通用方法：从某种匹配（例如空集合）开始，求出一个增广路径，并沿着该路径对当前匹配进行增广，如果无法再找到增广路径，算法终止并返回最后匹配，该匹配就是最大的。

         这种增广路径求二分图最大匹配的算法就叫做匈牙利算法（Hungary Algorithm），是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出的！

7. 算法框架：

（1）置M为空；

（2）求出一条增广路径，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M；

（3）重复（2）操作知道找不出增广路径为止；