字符串匹配之后缀树

引言

        试想有这样一个问题，有一个长度为N的字符串A（N值很大），还有一个模式串B，B的长度为M（N/M很大，说明B只是一个小片段），此时需要判断B是否是A的字串。如果我们使用KMP算法的话，那么复杂度为O(N)，对A串进行K次模式匹配的话就是KO(N)，此时为了降低复杂度，我们可以考虑预处理长字符串A，是的，如果我们预先处理好A的后缀树，那么搜索子串的复杂度就降为O(M)，进行K次匹配为KO(M)，和原来相比，效率大大提高。那么预处理字符串A的复杂度为多少呢？使用Ukkonen的算法，它的时间和空间复杂度都为O(N)，这就像是做了一件一劳永逸的事情一样，一次预处理，多次使用。或许你已经猜到了，我描述的问题就是DNA序列的匹配。

后缀树（Suffix Tree）

一个长度为n的字符串S，它的后缀树是一棵满足以下条件的树：

1. 每条边都代表一个非空字符串；
2. 所有的内部结点（根节点除外）都至少有2个子节点（数据压缩）
3. 有n个叶子节点，且从根到叶子的路径表示了一个唯一的后缀（前提是字符串s的最后一位字符时字典中唯一存在的，显而易见S的不同后缀有n个）。

或许看定义不容易理解，那我们来举个栗子。我们从suffix trie开始讲。suffix trie 是一棵列出字符串A所有后缀的树。比如字符串A=abaaba$

其实suffix trie和suffix tree仅仅差一步之遥。从图中我们可以看到每一条边仅表示一个字符，这样列出所有后缀需要的节点数为(1+2+...+n)，空间复杂度为O(N2)。这样对于长字符串（比如基因序列），我们就不可忍了。仔细观察后缀字典树的结构，我们会发现很多路径都没有分支了，既然没有分支，那么我们就可以把它们集合在一起（数据压缩），这样每条路径表示的就不是一个字符了，而是一个字符序列，可以用字符串中的索引值表示。

参考文献

http://allisons.org/ll/AlgDS/Tree/Suffix/

#翻译# 介绍后缀树(suffix tree)