58、基础数学术语概览

基础数学术语概览

在数学领域中，有许多基础的概念和术语对于深入理解各种数学结构和理论至关重要。下面将详细介绍群、环、域以及向量空间等基础数学概念。

1. 群相关概念

• 同构关系 ：恒等映射 (id : G \to G)，其中 (id(x) = x) 是一个同构，这表明同构关系具有自反性。“同构于”这一关系是所有群类上的等价关系，这使得我们可以将同构的群视为相等。
• 乘积群 ：设 (G_1) 和 (G_2) 是两个群，乘积群 (G_1 \times G_2) 定义为有序对 ((g_1, g_2)) 的集合，其中 (g_1 \in G_1) 且 (g_2 \in G_2)。其群运算按分量进行：((g_1, g_2) \circ (g_1’, g_2’) = (g_1 \circ g_1’, g_2 \circ g_2’))。例如，映射 (C^+ \to R^+ \times R^+)，(z \to (Re(z), Im(z))) 是一个双射同态，所以 (C^+ \cong R^+ \times R^+)。
• 第一同构定理 ：设 (f) 是从群 (G_1) 到群 (G_2) 的同态，则 (G_1 / Kerf \cong Imf)。

2. 环的定义与性质

• 环的定义 ：环是一个加法有限阿贝尔群，带有一个额外的运算（通常表示为乘法），该乘法运算满足结合律且有单位元，加法和乘法通过分配律 (a \cdot (b + c) = a \cd