3、模运算、群、有限域与概率基础算法解析

模运算、群、有限域与概率基础算法解析

1. 最大公约数（Greatest Common Divisors）

在求解整数方程 (a \cdot x = b \pmod{N}) 或多项式方程 (a \cdot \alpha = b \pmod{f})（其中 (f) 为模素数的多项式）时，计算最大公约数（gcd）是关键步骤。这对于判断 (a \in \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) 或 (a \in \mathbb{F}_p[X]/f) 是否存在乘法逆元至关重要，即当 (\gcd(a, N) = 1) 或 (\gcd(a, f) = 1) 时，(a) 存在乘法逆元。

若能将 (a) 和 (N) 分解为素数，或者将 (a) 和 (f) 分解为不可约多项式，计算最大公约数会很容易。例如：
(a = 230895588646864 = 2^4 \cdot 157 \cdot 45133)
(b = 33107658350407876 = 2^2 \cdot 157 \cdot 22693 \cdot 4513)
则 (\gcd(a, b) = 2^2 \cdot 157 \cdot 4513 = 2834164)

然而，对大整数进行分解是一项计算成本很高的操作，因此这种方法对于大整数来说效率很低。而且，虽然对模素数的多项式进行分解相对容易，但几乎所有分解多项式的算法都依赖于计算最大公约数的算法。所以，我们需要一种不依赖于分解的方法来计算最大公约数。

2. 欧几里得算法（The Euclidean Algorithm）

下面我们主要考虑整数的情况，由于整数和多项式都可以进行欧几里得除法，所以该算法很容易推广