交换瓶子【第七届】【省赛】【A组】

原创已于 2024-02-19 11:53:29 修改 · 831 阅读

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#算法 #c++ #蓝桥杯

于 2024-02-19 11:52:11 首次发布

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文章介绍了如何将瓶子排列问题转化为图论问题，通过计算环的数量来确定最少交换次数。代码示例展示了C++实现这一过程。

题目描述

有N个瓶子，编号 1 ~ N，放在架子上。

比如有5个瓶子：
2 1 3 5 4

要求每次拿起2个瓶子，交换它们的位置。
经过若干次后，使得瓶子的序号为：
1 2 3 4 5

对于这么简单的情况，显然，至少需要交换2次就可以复位。

如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。

输入输出

输入格式为两行：
第一行: 一个正整数N（N<10000）, 表示瓶子的数目
第二行：N个正整数，用空格分开，表示瓶子目前的排列情况。

输出数据为一行一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。

例如，输入：
5
3 1 2 5 4

程序应该输出：
3

再例如，输入：
5
5 4 3 2 1

程序应该输出：
2

资源约定

峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms

思路

这题思路很巧妙，我们可以将其转化为图论的问题求解。
首先建图，因为是1~N的，所以将a[i]指向a[a[i]]，例如第一个样例。

5
3 1 2 5 4

转化成图就行如下所示。
在这里插入图片描述
排好之后的图是这样的。

所以我们的目的就是将上面的两个环，变成下面的五个环。每次交换两个点，其实就是改变了两条边的指向。比如交换3和2，就变成了2 1 3 5 4。新图就变成了：

其实就是将一个环变成了两个环。每一次这样的交换都会导致上述结果。那么我们最终是要有 $n$ 个环。所以我们只需要求出给出的数据有多少环，然后让 $n$ 减去环的数量，就是最少的交换次数。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n;
int a[N];
bool st[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for ( int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    
    int k = 0;
    
    for ( int i = 1; i <= n; i ++ )
        if ( !st[i] )
        {
            k ++;
            for ( int j = i; !st[j]; j = a[j] )
                st[j] = true;
        }
    cout << n - k << endl;
    
    return 0;
}