软考-数据结构-数据结构部分一直补充

树

在树中，除根结点外，其余所有结点都是由其双亲结点引出的。所以+1是加的根结点。
关于树的结点个数
n=$n_0 + n_1 + n_2+... = ....+2*n_2 + n_1+1$

二叉树

性质：

1. 二叉树第二层（i>=1）上最多有$\ 2^{k-1}$个结点
2. 高度为k(k>=1)的二叉树最多有$2^k-1$ 个结点
3. 对于任意一颗二叉树，若其终端节点数为$\ n_0$,度为2 的节点个数为$\ n_2$，则$\ n_0$ = $\ n_2$+1
4. 具有n个节点的完全二叉树的深度为$\log_2n +1$

证明三：对于任意一个二叉树,度为0的节点个数为$n_0$,度为1的结点个数为$n_1$,度为2的结点个数为$n_2$那么二叉树结点数n=$n_0 + n_1 + n_2$ ,
再根据分支个数 等于 结点数 所以n=$n_1 + 2n_2$
所以 $n_0 + n_1 + n_2$ = $n_1 + 2n_2$ 相减得
$\ n_0$ = $\ n_2$+1

算法

算法特点

1. 有穷性：执行有穷步后结束
2. 确定性：算法中每一条指令都必须有明确的含义，不能含糊不清
3. 有效性：算法的每个步骤都能有效执行并能得到确定的结果
4. 输入
5. 输出

算法复杂度

时间复杂度:表示方法 T(n) = O($n^2$)
常见的算法时间复杂度

图

完全图：若一个无向图具有n个顶点，而每一个顶点与其他n-1个顶点之间都有边，则称为无向完全图。
若一个有向图具有n个顶点，而每一个顶点与其他n-1个顶点之间都有方向相反的弧，则称为有向完全图。

含有n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2 边
含有n个顶点的有向完全图共有n(n-1) 弧

最小生成树 求解

1. 普里姆 Prim 算法
   以一个顶点最为开始，不断寻找与集合中顶点相邻且代价最小的边的另一顶点，直至顶点全部为止
   与图中的边数无关，适合求 边稠密的网的最小生成树
   时间复杂度T(n) =O($n^2$)

2.克鲁斯卡尔算法
每次都选一个代价最小的边，直至所有顶点都在一个连通分量上为止
与图中的顶点数无关，该算法适合求 边稀疏的网的最小生成树
时间复杂度T(n) =O($eloge$)

拓扑排序&关键路径

AOV网（Activity On Vertex network)

不存在环
概念：在有向图中，若以顶点表示活动，用有向边表示活动之间的优先关系，则称这样的有向图为以顶点表示活动的网，即AOV网
对AOV网进行拓扑排序的方法：

1.在AOV网中选择一个入度为0（没有前驱）的顶点，且输出该顶点
2. 在网中删除该顶点以及与该顶点有关的弧（即出度的边）
3. 重复上述步骤，直到网中不存在入度为0的顶点为止

拓扑排序算法的时间复杂度是O(n+e)

AOE网（Activity on Edge network）

若在带权有向图G中以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示该活动持续的时间，则这种带权有向图成为用边表示活动的网。
一般情况下，每项工程都有一个开始事件和一个结束事件。so，在AOE网中至少有一个入度为0的开始顶点，称为源点
另外，应有一个出度为0的结束顶点，称为汇点。

AOE网中不应存在有向回路。否则整个工程无法完成

关键路径&关键活动
关键路径：再从源点到汇点的路径中，长度最长的路径称为关键路径。
关键活动：关键路径上的所有活动均是关键活动。

最短路径

单源点最短路径

单源点最短路径：给定带权有向图G和源点$v_0$,求$v_0$到G中其余各顶点的最短路径。
迪杰斯特拉算法（Dijkstra）：按照路径长度递增的次序产生最短路径的算法。
算法思想:把网中所有顶点分成两个集合S和T，S集合的初态只包含顶点$v_0$，T集合的初态为网中除顶点$v_0$之外的所有顶点。凡是以$v_0$为源点，已经确定了最短路径的终点并入S集合中，顶点集合T则是尚未确定最短路径的顶点的集合，以此类推…

每对顶点间的最短路径

若每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法n次，便可求出网中每一对顶点间的最短路径。
弗洛伊德算法（Floyd）：