斐波拉契数列的递归、非递归、公式法多种方法实现

本文介绍了四种实现斐波拉契数列的方法:递归调用、非递归数组方式、非递归循环方式及数学公式法,并分析了各种方法的时间与空间复杂度。

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实现斐波拉契数列:1,1,2,3,5,8...,当n>=3时,f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

解:求解斐波拉契数列方法很多,这里提供了4种实现方法和代码,由于第5种数学公式方法代码太过繁琐,只做简单介绍

方法一:递归调用,每次递归的时候有大量重复计算,效率低可将其调用的过程转化成一颗二叉树进行分析,二叉树的总结点个数不超过(2^n-1)个,由于其是不完全二叉树,那么函数计算的次数必小于(2^n-1),时间复杂度为O(2^n);递归调用的深度为n,空间复杂度为O(n)

方法二:非递归数组方式,循环中仍然有重复计算时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)

方法三:非递归循环方式,将前两项的计算结果保存起来,无重复计算时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)

方法四:直接利用数学公式法f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)时间复杂度为O(1),空间复杂度为O(1)

实现代码如下:

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;


//方法一:递归调用,有大量重复计算,效率低

long long Fibonacci1(int n)

{

return (n < 2) ? n : Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2);

}


//方法二:非递归数组方式,循环中仍然有重复计算

long long Fibonacci2(int n)

{

long long *fibArray = new long long[n + 1];

fibArray[0] = 0;

fibArray[1] = 1;


for (int i = 2; i <= n; i++)

{

fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];

}


long long ret = fibArray[n];

delete[] fibArray;

return ret;

}



//方法三:非递归循环方式,将前两项的计算结果保存起来,无重复计算

long long Fibonacci3(int n)

{

long long fibArray[3] = { 0, 1, n };//给fibArray数组赋初值


for (int i = 2; i <= n; i++)

{

fibArray[2] = fibArray[1] + fibArray[0];

fibArray[0] = fibArray[1];

fibArray[1] = fibArray[2];

}


return fibArray[2];

}


//方法四:直接利用数学公式法:f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)

long long Fibonacci4(int n)

{

return (pow((1 + sqrt(5.0)) / 2, n) - pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, n)) / sqrt(5.0);

}


//测试代码

int main()

{

int num = 0;

int ret = 0;

cout << "请输入斐波拉契数列的序号:";

cin >> num;

ret = Fibonacci1(num);

/*ret = Fibonacci2(num);*/

/*ret = Fibonacci3(num);*/

/*ret = Fibonacci4(num);*/

cout << ret << endl;

system("pause");

return 0;

}


方法5:生僻的数学公式法

 f(n)      f(n-1)        1    1

[                 ] = [          ]^(n-1)

 f(n-1)    f(n-2)        1    0

该公式可用数学归纳法进行证明,在矩阵乘法的变换证明过程中,要注意运用斐波拉契数列的性质:后一项为前面两项之和;该数学公式,应用矩阵的乘法,时间复杂度仅为O(log n),时间效率虽然低,但不够实用,源码太过繁琐,参考剑指0ffer面试题9的源码

本文出自 “岩枭” 博客,请务必保留此出处http://yaoyaolx.blog.51cto.com/10732111/1771249

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