附录A
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APPENDIX A:NOTATION
A.1. 矩阵(Notation for matrices)
- 我们用A=((aij)) 表示m×n阶矩阵A,其中
aij 为第(i,j)th个元素。对角矩阵表示为diag(di,...,dn). - Mm×n表示实m×n阶矩阵空间,Sn表示n×n矩阵空间。
- trA=矩阵A的迹(trace)。
detA= 矩阵A的行列式(determinant)。AT= 矩阵A的转置(transpose)。cofA= 矩阵A的代数余子式(cofactor)。若
A=((aij)) 和 B=((bij)) 为m×n矩阵,则有:A:B=∑i=1m∑j=1naijbij
|A|=(A:A)12=(∑i=1m∑j=1na2ij)12若A∈Sn,x=(x1,...,xn)∈Rn则相应的二次方程为x⋅Ax=∑ni,j=1aijxixj。
若A,B∈Sn,A≥B表示A−B半正定的。特别地,若x⋅Ax≥θ|x|2,for all x∈Rn则记为A≥θI
有时候yA表示ATy,A∈Mm×n和y∈Rm
A.2. 几何符号(Geometric notation)
- Rn=n−维实欧几里得空间(Euclidean speace),R1=R
- ei=(0,...,0,1,...,0)=ith标准坐标向量。
- Rn中点x=(x1,...,xn),我们根据上下文判断是行向量还是列向量。
- Rn+={x=(x1,...,xn)∈Rn|xn>0}=开上半空间(open upper half-space),特别R+={x∈R|x>0}
- Rn+1中的点经常表示为(x,t)=(x1,...,xn,t)将t解释为时间t=xn+1=time,Rn中点也写作x=(x′,xn)其中x′=(x1,...,xn−1)∈Rn−1
- U,V,W经常表示Rn的开子集,V⊂⊂U表示V⊂V¯¯¯⊂U,其中V¯¯¯为紧致的(compact),说V紧致地包含于
U - ∂U=U的边界,U¯¯¯=U∪∂U表示U的闭包(closure)。
UT=U×(0,T] - ΓT=U¯T−UT=UT的抛物线边界(parabolic boundary)
- B(x,r)={y∈Rn||x−y|≤r},Rn中x为心,
r>0 为半径的闭球。开球为B0(x,r) - C(x,t;r)={y∈Rn,s∈R||x−y|≤r,t−r2≤s≤t}=闭圆柱(cylinder),底为以(x,t)为心r>0为半径的圆,高为r2
- α(n)=Rn中单位球B(0,1)的体积=πn/2Γ(n2+1),nα(n)=Rn中单位球面∂B(0,1)的表面积。
- 若a=(a1,...,an),b=(b1,...,bn)∈Rna⋅b=∑i=1naibi,|a|=(∑i=1na2i)12
- Cn=n−维复空间,C为复平面。若z∈C,则Re(z)表示z的实部
Im(z) 表示z的虚部。
A.3. 函数的记号(Notation for functions)
- 若
u:U→R ,记作u(x)=u(x1,...,xn),(x∈U)当u为无限可微时,称u 为光滑的。 - 若u,v为两个函数,u≡v表示u和
v 完全相等,也就是对于任意参数他们的值相等。u:=v定义等于v的u .函数u的支集(support)记为spt u 。 - u+=max(u,0),u−=−min(u,0)则,u=u+−u−,|u|=u++u−。符号函数:sgn(x)=⎧⎩⎨10−1if x>0 if x=0 if x>0 .
- 若u:U→Rm则记为u(x)=(u1(x),...,um(x)) x∈U,函数uk是的u第k个分量。
- 若
Σ 是Rn中光滑的(n−1)−维曲面(surface),则∫ΣfdS表示Σ上f的(n−1)− 维曲面积分。若C为Rn 中曲线(curve),∫Cfdl表示f在C 上的关于弧长(arclength)的积分。 - 平均值:∫∗B(x,r)fdy:=1α(n)rn∫∂B(x,r)fdS=f在球
B(x,r) 上的平均值。∫∗B(x,r)fdS:=1nα(n)rn−1∫∂B(x,r)fdS=f在球面∂B(x,r) 上的平均值。一般地,∫∗Efdμ:=1μ(E)∫∂Efdμ=f在集E 上的平均值。 - χE(x)={10if x∈Eif x∉E,χE(x)是E的指标函数(示性函数indicator function)。
- 函数
u:U→R 称为利普希茨连续的(Lipschitz continuous),若:|u(x)−u(y)|≤C|x−y|对于常数C和任意的x,y∈U 成立,记
Lip[u]:=supx,y∈Ux≠y|u(x)−u(y)||x−y| - 函数f,g的卷积(convolution)记为:f∗g.
导数的记号(Notation for derivatives)
假设u:U→R,x∈U.
- ∂u∂xi=limh→0u(x+hei)−u(x)hprovided this limit exists.
- 将∂u∂xi记为uxi.
- 类似地∂2u∂xi∂yj=uxiyj,∂3u∂xi∂yj∂zk=uxiyjzk,ect.
- Multiindex Notation
(1). 向量α=(α1,...,αn)其中αi是非负整数称为有序多重指标(multiindex of order):|α|=α1+⋯+αn.
(2). 给定一个多重指标α,定义:
Dαu(x):=∂|α|u(x)∂xα11⋯∂xαnn=∂α1x1⋯∂αnxnu.
(3). 若k为一个非负整数,则所有k阶偏微分的集合。设定某种规则,我们将Dku(x)={Dαu(x)||α|=k}, Dku(x) 看做Rnk中的点。
(4). |Dku|:=(∑|α|=k|Dαu|2)12
(5). 特例:若k=1,Du中元素可以组成如下梯度向量(gradient vector):Du:=(ux1,⋯,uxn)=gradient vector.从而Du∈Rn,u的径向导数(radial derivative):ur:=x|x|⋅Du
若k=则D2u中元素可 组成如下Hessian矩阵D2u:=⎛⎝⎜⎜ux1x1uxnx1⋯⋱⋯ux1xnuxnxn⎞⎠⎟⎟n×n=Hessianmatrix.因此D2u∈Snn×n阶实对称(symmetric)矩阵空间. - Δu=∑ni=1uxixi=tr(D2u)=Laplacian of u.
- u=u(x,y)(x∈Rn,y∈Rm)then,Dxu=(ux1,⋯,uxn),Dyu=(uy1,⋯,uym)
函数空间(Function spaces)
1. C(U)={u:U→R|u continuous}.C(U¯)={u∈C(U)|u is uniformly continuous on bounded subsets of U}
Ck(U)={u:U→R|u is k-times continously differentiable}.
Ck(U¯)={u:U∈Ck(U)|Dαu isuniformly continous on bounded subsets of U,for all |α|≤k }若u∈Ck(U¯),Dα对于每个多重指标α,|α|≤k连续趋向于U¯.
2. C∞(U)={u:U→R|u是无限可微的}=∩∞k=0Ck(U)同样地C∞(U¯)=∩∞k=0Ck(U¯)。
3. Cc(U),Ckc(U)代表拥有紧支集(compact support)的C(U),Ck(U)
4. Lp(U)={u:U→R|u是勒贝格可测(Lebesgue measurable)的,∥u∥Lp(U):=<∞}其中∥u∥Lp(U):=(∫U|u|pdx)1p (1≤p<∞).
L∞(U)={u:U→R|u是勒贝格可测(Lebesgue measurable)的,∥u∥L∞(U):=<∞}其中∥u∥L∞(U):=esssupU|U|
Lploc(U)={u:→R|u∈Lp(V),V⊂⊂U}.See also §D.1.
5. ∥Du∥Lp(U)=∥|Du|∥Lp(U),∥D2u∥Lp(U)=∥|D2u|∥Lp(U)
6. Wk,p(U),Hk(U),ect.(k=0,1,2,...,1≤p≤∞)代表索伯列夫空间(Sobolec spaces)see Chapter 5.
7. Ck,β(U¯)(k=0,...,0<β≤1)代表Ho¨lder空间.
8. t和x的函数。有时候引入的x-和
9. In particular, if u∈C21(UT), then u,Dxu, etc. are continuous up to
the top U×t=T.
A.4. 向量值函数(Vector-vlued functions)
- 若m>1,u:U→Rm,u=(u1,...,um),对于多重指标α我们定义Dαu=(Dαu1,...,Dαum).从而,Dku={Dαu||α|=k}and|Dku|:=⎛⎝∑|α|=k|Dαu|2⎞⎠12
- k=1,Du:=⎛⎝⎜⎜u1x1⋮umx1⋯⋱⋯u1xn⋮umxn⎞⎠⎟⎟m×n=gradient matrix.
- 当m=n,divu:=tr(Du)=∑i=1nuixi=divergence(散度)of u
- 空间C(U;Rm),Lp(U;Rm),ect.包含如下函数:u:U→Rm,u=(u1,...,um),with ui∈C(U),Lp(U),ect.(i=1,...,m)
5.关于上标和下标的说明:我们用粗体(boldface)表示在Rm,m>1(or else Banach or Hilbert spaces)上取值的函数,这种映射中函数的分量使用上标(superscripts)表示,而点x∈R的分量则用下标(subscripts)表示。对于矩阵值映射上下标根据上下文确定。
A.5. 估量的记号(Notation for estimates.)
C表示常量。
Definitions.
(Big-oh notation.)
(Little-oh notation.)f=o(g) as x→x0表示,limx→x0f(x)g(x)=0.
A.6.一些注释(Some comments about notation.)
- 我们使用符号”Du”而不是”∇u”来表示函数u的梯度,因为”D^2u”很自然地表示
u 的Hessian矩阵,而”∇2u”会和Laplacian混淆。 - 大多偏微分方程方面的数书籍和文章用“Ω”表示Rn的使得所给PDE成立的开子集。
我们使用符号U来表示上述区域,因为我们可以使用字母V,W 代表U子区域。 Ω 是概率空间中的一个标准符号。