附录A

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标签(空格分隔): Evens PDE


APPENDIX A:NOTATION

A.1. 矩阵(Notation for matrices)

  1. 我们用A=((aij)) 表示m×n阶矩阵A,其中aij为第(i,j)th个元素。对角矩阵表示为diag(di,...,dn).
  2. Mm×n表示实m×n阶矩阵空间,Sn表示n×n矩阵空间。
  3. trA=矩阵A的迹(trace)。
  4. detA=矩阵A的行列式(determinant)。
  5. AT=矩阵A的转置(transpose)。
  6. cofA=矩阵A的代数余子式(cofactor)。
  7. A=((aij))B=((bij))m×n矩阵,则有:

    A:B=i=1mj=1naijbij

    |A|=(A:A)12=(i=1mj=1na2ij)12
  8. ASn,x=(x1,...,xn)Rn则相应的二次方程为xAx=ni,j=1aijxixj

  9. A,BSn,AB表示AB半正定的。特别地,若xAxθ|x|2,for all xRn则记为AθI
    有时候yA表示ATy,AMm×nyRm


A.2. 几何符号(Geometric notation)

  1. Rn=n维实欧几里得空间(Euclidean speace),R1=R
  2. ei=(0,...,0,1,...,0)=ith标准坐标向量。
  3. Rn中点x=(x1,...,xn),我们根据上下文判断是行向量还是列向量。
  4. Rn+={x=(x1,...,xn)Rn|xn>0}=开上半空间(open upper half-space),特别R+={xR|x>0}
  5. Rn+1中的点经常表示为(x,t)=(x1,...,xn,t)将t解释为时间t=xn+1=timeRn中点也写作x=(x,xn)其中x=(x1,...,xn1)Rn1
  6. U,V,W经常表示Rn的开子集,VU表示VV¯¯¯U,其中V¯¯¯为紧致的(compact),说V紧致地包含于U
  7. U=U的边界,U¯¯¯=UU表示U的闭包(closure)。
  8. UT=U×(0,T]
  9. ΓT=U¯TUT=UT的抛物线边界(parabolic boundary)
  10. B(x,r)={yRn||xy|r},Rnx为心,r>0为半径的闭球。开球为B0(x,r)
  11. C(x,t;r)={yRn,sR||xy|r,tr2st}=闭圆柱(cylinder),底为以(x,t)为心r>0为半径的圆,高为r2
  12. α(n)=Rn中单位球B(0,1)的体积=πn/2Γ(n2+1),nα(n)=Rn中单位球面B(0,1)的表面积。
  13. a=(a1,...,an),b=(b1,...,bn)Rn
    ab=i=1naibi,|a|=(i=1na2i)12
  14. Cn=n维复空间,C为复平面。若zC,则Re(z)表示z的实部Im(z)表示z的虚部。

A.3. 函数的记号(Notation for functions)

  1. u:UR,记作
    u(x)=u(x1,...,xn),(xU)
    u为无限可微时,称u为光滑的。
  2. u,v为两个函数,uv表示uv完全相等,也就是对于任意参数他们的值相等。u:=v定义等于vu.函数u的支集(support)记为spt u
  3. u+=max(u,0),u=min(u,0)则,u=u+u,|u|=u++u。符号函数:
    sgn(x)=101if x>0 if x=0 if x>0 .
  4. u:URm则记为
    u(x)=(u1(x),...,um(x))      xU
    ,函数uk是的uk个分量。
  5. ΣRn中光滑的(n1)维曲面(surface),则
    ΣfdS
    表示Σf(n1)维曲面积分。若CRn中曲线(curve),
    Cfdl
    表示fC上的关于弧长(arclength)的积分。
  6. 平均值:
    B(x,r)fdy:=1α(n)rnB(x,r)fdS=
    f在球B(x,r)上的平均值。
    B(x,r)fdS:=1nα(n)rn1B(x,r)fdS=
    f在球面B(x,r)上的平均值。一般地,
    Efdμ:=1μ(E)Efdμ=
    f在集E上的平均值。
  7. χE(x)={10if xEif xE,χE(x)E的指标函数(示性函数indicator function)。
  8. 函数u:UR称为利普希茨连续的(Lipschitz continuous),若:
    |u(x)u(y)|C|xy|
    对于常数C和任意的x,yU成立,记
    Lip[u]:=supx,yUxy|u(x)u(y)||xy|
  9. 函数f,g的卷积(convolution)记为:fg.

导数的记号(Notation for derivatives)

假设u:URxU.

  1. uxi=limh0u(x+hei)u(x)hprovided this limit exists.
  2. uxi记为uxi.
  3. 类似地2uxiyj=uxiyj,3uxiyjzk=uxiyjzk,ect.
  4. Multiindex Notation
    (1). 向量α=(α1,...,αn)其中αi是非负整数称为有序多重指标(multiindex of order):
    |α|=α1++αn.

    (2). 给定一个多重指标α,定义:
    Dαu(x):=|α|u(x)xα11xαnn=α1x1αnxnu.

    (3). 若k为一个非负整数,则
    Dku(x)={Dαu(x)||α|=k},
    所有k阶偏微分的集合。设定某种规则,我们将Dku(x)看做Rnk中的点。
    (4). |Dku|=(|α|=k|Dαu|2)12
    (5). 特例:若k=1,Du中元素可以组成如下梯度向量(gradient vector):
    Du:=(ux1,,uxn)=gradient vector.
    从而DuRnu的径向导数(radial derivative):
    ur:=x|x|Du

    k=D2u中元素可 组成如下Hessian矩阵
    D2u:=ux1x1uxnx1ux1xnuxnxnn×n=Hessianmatrix.
    因此D2uSnn×n阶实对称(symmetric)矩阵空间.
  5. Δu=ni=1uxixi=tr(D2u)=Laplacian of u.
  6. u=u(x,y)(xRn,yRm)then,Dxu=(ux1,,uxn),Dyu=(uy1,,uym)

函数空间(Function spaces)
1. C(U)={u:UR|u continuous}.C(U¯)={uC(U)|u is uniformly continuous on bounded subsets of U}
Ck(U)={u:UR|u is k-times continously differentiable}.
Ck(U¯)={u:UCk(U)|Dαu isuniformly continous on bounded subsets of U,for all |α|k }uCk(U¯)Dα对于每个多重指标α,|α|k连续趋向于U¯.
2. C(U)={u:UR|u}=k=0Ck(U)同样地C(U¯)=k=0Ck(U¯)
3. Cc(U),Ckc(U)代表拥有紧支集(compact support)的C(U),Ck(U)
4. Lp(U)={u:UR|u(Lebesgue measurable),uLp(U):=<}其中uLp(U):=(U|u|pdx)1p (1p<).
L(U)={u:UR|u(Lebesgue measurable),uL(U):=<}其中uL(U):=esssupU|U|
Lploc(U)={u:R|uLp(V),VU}.See also §D.1.
5. DuLp(U)=|Du|Lp(U),D2uLp(U)=|D2u|Lp(U)
6. Wk,p(U),Hk(U),ect.(k=0,1,2,...,1p)代表索伯列夫空间(Sobolec spaces)see Chapter 5.
7. Ck,β(U¯)(k=0,...,0<β1)代表Ho¨lder空间.
8. tx的函数。有时候引入的x-和t-变量函数空间是有益的,尽管没有标准的记号,我们在书中有

C21(UT)={u:R|u,Dxu,D2xu,utC(UT)}

9. In particular, if uC21(UT), then u,Dxu, etc. are continuous up to
the top U×t=T.

A.4. 向量值函数(Vector-vlued functions)

  1. m>1,u:URm,u=(u1,...,um),对于多重指标α我们定义Dαu=(Dαu1,...,Dαum).从而,
    Dku={Dαu||α|=k}
    and
    |Dku|:=|α|=k|Dαu|212
  2. k=1,
    Du:=u1x1umx1u1xnumxnm×n=gradient matrix.
  3. m=n,divu:=tr(Du)=i=1nuixi=divergence()of u
  4. 空间C(U;Rm),Lp(U;Rm),ect.包含如下函数:u:URm,u=(u1,...,um),with uiC(U),Lp(U),ect.(i=1,...,m)
    5.关于上标和下标的说明:我们用粗体(boldface)表示在Rm,m>1(or else Banach or Hilbert spaces)上取值的函数,这种映射中函数的分量使用上标(superscripts)表示,而点xR的分量则用下标(subscripts)表示。对于矩阵值映射上下标根据上下文确定。

A.5. 估量的记号(Notation for estimates.)

C表示常量。
Definitions.
(Big-oh notation.)f=O(g)  as xx0表示,存在常数C使得|f(x)C|g(x)||对所有x充分接近x0.
(Little-oh notation.)f=o(g)  as xx0表示,limxx0f(x)g(x)=0.


A.6.一些注释(Some comments about notation.)

  1. 我们使用符号”Du”而不是”u”来表示函数u的梯度,因为”D^2u”很自然地表示u的Hessian矩阵,而”2u”会和Laplacian混淆。
  2. 大多偏微分方程方面的数书籍和文章用“Ω”表示Rn的使得所给PDE成立的开子集。
    我们使用符号U来表示上述区域,因为我们可以使用字母V,W代表U子区域。
  3. Ω是概率空间中的一个标准符号。
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