JAVA动态规划（二）--最长公共子序列问题（LCS_subSequence）的三种解法与最长公共子字符串（LCS_subString）的两种解法与最长回文串（LongestPalindrome）

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

本文将介绍最长公共子序列问题（LCS_subSequence）的三种解法与最长公共子字符串（LCS_subString）问题的两种解法。

一、最长公共子子序列问题（LCS_subSequence）的三种解法
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列[i0，i1，…，ik-1]，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：

算法分析：由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。

Java代码：

/*
 * 最长公共子序列问题
 * 方法（一）：递归：返回最长子序列长度
* */
public class LCS_problem {
    public static void main(String[] args) {
        String s1="abcdefghijkl";
        String s2="cdafu";
        int l=new LCS_problem().lcs(s1, s1.length()-1, s2, s2.length()-1);
        System.out.println(l);
    }

    public int lcs(String s1,int x,String s2,int y){
        if(x<0||y<0){
            return 0;
        }
        if(s1.charAt(x)==s2.charAt(y)){
            return lcs(s1,x-1,s2,y-1)+1;   //如果末位相同，则子序列长度加1
        }else{  //否则比较两个字符串分别去掉一个字符的子序列长度
            int l1=lcs(s1,x-1,s2,y);
            int l2=lcs(s1,x,s2,y-1);
            return l1>l2?l1:l2;
        }
    }
}

递归只能输出最长子序列的长度，不能输出具体的子序列，下面我们看看如何用动态规划的方法输出最长公共子序列：

/*
 * 最长公共子序列问题
 * 动态规划【方法一：对开始字符初始状态单独处理】：返回最长子序列长度int 以及具体的子序列String
* */
public class LCS_problem {
    public static void main(String[] args) {
        String s1