关于原码、反码和补码

一、原码的定义

原码、反码和补码都是计算机中对数字的二进制定点表示方法。

原码表示法的最高位是符号位，0表示正，1表示负。其具体定义分为小数和正数定义，这里我们暂时只讨论整数的相关定义：

这里假设用1个字节来表示整数X，那么一共可以表示256个不同的X：

当X在[0,127]时，X的原码就是X；

当X在[-127,-0]时，X的原码就是128-X。

有以下需要注意的地方：

零的表示有两个：正零和负零，分别为0000 0000和1000 0000；

最大正数为127，最小负数为-127，加上正零和负零，一共256个数；

+0      0000 0000

+1      0000 0001

+2      0000 0010

+127  0111 1111

-0       1000 0000

-1       1000 0001

-127    1111 1111

 

二、反码的定义

正数的反码：与原码相同

负数的反码：最高位符号位不变，保持为1，其它各位按位取反，即：0变1,1变0。

它的表示范围同原码相同：[-127，+127]，+0和-0的表示也不相同，分别为0000 0000和1111 1111。

 

三、补码的定义

正数的补码：与原码相同

负数的补码：反码+1

正零和负零的表示完全相同：0000 0000，原因很简单：正数零的反码就是零的原码，0000 0000，这没有问题；负数零的补码是其反码加1，而其反码前面已经提到，是1111 1111，它加1之后应为1 0000 0000，但是我们前面既然已经声明用1个字节来举例表示整数 ，那么最高位的1就会被舍去，因此结果也是0000 0000。

它的表示范围已经改变：[-128，+127]，为何可以表示-128了呢，原因如下：

1个字节本来可以表示256个不同的数，但是现在正零和负零已经相同了，那么肯定剩下一个数没有用到，这个数就是1000 0000，可以验证：[-127,+127]中没有哪个数的补码会是这个数，原因很简单，我们可以根据这个补码求它的原码，过程如下：

首先，假设它是正数的补码。因为正数的原码、反码、补码完全相同，因此如果它是正数，那么它的原码就是它的补码，那么因此原码也是1000 0000，但我们根据原码的定义可知，最高位为1表示负数，因此自相矛盾，所以假设错误，得出结论：它不是正数；

其次，假设它是负数的补码。那么它减1就会得到其反码为0111 1111，这样也不正确，因为一个负数的反码的最高位也应该是1，也自相矛盾，所以它也不是负数的原码；

最后它只能是零的补码了，可我们已经知道正零和负零的补码相同，均为0000 0000，因此它也不是零的补码。

综上所述，它不是[-127,+127]中任何一个数的补码，那么它不就浪费了吗？为了避免浪费，我们特别地规定：1000 0000是-128的补码。

+0      0000 0000

+1      0000 0001

+2      0000 0010

+127  0111 1111

-128  1000 0000

-127  1000 0001

-1      1111 1111

所以在补码的世界里，由0开始逐渐递增，直到最大的正数后，如再加1，则跳变到最小的负数，之后又逐渐递增，直到变为最大的负数。

  

                               原码的变化图                                                                                  补码的变化图

在计算机中数都是采用补码表示，原因有二：一是原码和反码对零的表示都不相同，因此这不合数学逻辑，不适合进行数的运算，而且它们还需要对符号位做特殊处理；而补码首先对零的表示是唯一的，其次它不需要对符号位作特殊的处理，也就是符号位可以直接参与运算，补码还可以把减法当成加法来处理。

补码的运算法则：[A+B]补 = [A]补 + [B]补

因此可推导出:：[A-B]补 = [A+(-B)]补 = [A]补 + [-B]补

关于负数的补码如何求的问题，包括其中涉及的进位或溢出等，以后再学习吧。

 

四、Java中的int型变量的讨论

Java中的数都是有符号数。int型变量用4个字节来表示，因此最大值是2的31次减1，最小值是负的2的31次。