C++动态规划经典案例解析之合并石子

1. 前言

区间类型问题，指求一个数列中某一段区间的值，包括求和、最值等简单或复杂问题。此类问题也适用于动态规划思想。

如前缀和就是极简单的区间问题。如有如下数组：

int nums[]={3,1,7,9,12,78,32,5,10,11,21,32,45,22}

现给定区间信息[3,6]，求区间内所有数字相加结果。即求如下图位置数字之和。

Tips： 区间至少包括 2 个属性，起始端和结束端，求和范围包含左端和右端数字。

直接的解法：

• 累加数组中 0~6区间的值s1。
• 累加数组中0~2区间的值s2。
• 将 s1中的值减去s2中的值。得到最终结果。

如果对任意区间的求解要求较频繁，会存在大量的重复计算。如分别求区间[2,5]和[1,5]之和时，分析可知区间[1,5]结果等于区间[2,5]的结果加上nums[1]的值，或者说区间[2,5]的值等于[1,5]的值减nums[1]。简而言之，只需要求出一个如上两个区间中一个区间的值，另一个区间的值就可得到。

为了减少重复计算，可使用区间缓存理念记录0~至任意位置的和。

如上的问题便是简单的区间类型问题，解决此类问题的方案称为简单区间类型动态规划。dp数组也可称为前缀和数组。

编码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
	int nums[]= {3,1,7,9,12,78,32,5,10,11,21,32,45,22};
	int dp[100];
	int size=sizeof(nums)/sizeof(int);
	for(int i=0; i<size; i++) {
		if(i==0){
			//base case 
			dp[i]=nums[i];
		}else{
			dp[i]=dp[i-1]+nums[i];
		}
	}
	//输出dp信息
	for(int i=0; i<size; i++) {
	 cout<<dp[i]<<"\t";
	}

	return 0;
}

有了前缀和数组，计算任意区间数字和的公式为：

//