77、定内容字符串的通用循环构造

定内容字符串的通用循环构造

1. 引言

在字符串处理领域，定内容字符串的通用循环构造是一个重要的研究方向。通用循环是指一个循环序列，其中包含了某个集合中所有元素的特定表示形式，且每个元素恰好出现一次。本文将探讨如何为定内容字符串构造通用循环，使用其简写表示法。

首先，我们来看两个例子：
- 例1 ：考虑阶数 $n = 3$ 的简写排列集合 $S_1 = {12, 13, 21, 23, 31, 32}$，可以观察到 $231321$ 是 $S_1$ 的一个通用循环。
- 例2 ：对于 $n = 5$ 且权重为 $2$ 的简写定权重字符串集合 $S_2 = {0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0110, 0101, 1001, 1010, 1100}$，$1010011000$ 是 $S_2$ 的一个通用循环。

定内容字符串集合由一个多重集的所有排列组成，这个多重集就是集合的内容。这些集合推广了阶数为 $n$ 的排列（其内容为 ${1, 2, \ldots, n}$）和长度为 $n$ 且权重为 $d$ 的二进制字符串（其内容为 $d$ 个 $1$ 和 $n - d$ 个 $0$）。这些集合也被称为多重集排列，由具有相同帕里克向量的字符串组成。

主要结果是首次提出了定内容字符串通用循环的构造方法。该构造基于一种已知的连接构造，应用于项链的 cool - lex 顺序，以每个符号 $O(1)$ 的摊销时间生成通用循环。同时，我们还开发了一种算法，以每个项链 $O(n)$ 的摊销时间按移位格雷码顺序列出定内容项链。

2. 预备