66、基于精确全局控制的粒子组装研究

基于精确全局控制的粒子组装研究

1. 问题引入

在粒子组装领域，像聚集所有粒子、组装图案化矩形等问题已被深入研究。本文聚焦于通过粘性粒子构建基于瓷砖的结构，如二维的多联骨牌或三维的多立方体。在该模型中，所有粒子在驱动时会朝同一方向移动一步，当两个粒子靠近时就会粘在一起。我们主要探讨的问题是，给定一个形状，判断它是否可构建。

2. 相关问题定义

• 单步倾斜组装问题（STAP） ：给定一个形状 $P$（二维的多联骨牌或三维的多立方体），是否存在一系列瓷砖移动步骤来构建 $P$？二维和三维的该问题分别记为 2D - STAP 和 3D - STAP。
• MaxSTAP ：STAP 的优化变体，要求找出 $P$ 中最大尺寸的可构建子形状 $P_{max}$。

3. 主要研究成果

• 3D - STAP 的复杂度 ：3D - STAP 是 NP 难问题。
• MaxSTAP 的近似算法 ：在维度 $d = 2, 3$ 时，存在一个 $\Omega(|P|^{-1/d})$ 近似算法用于 MaxSTAP。
• 树状形状的 STAP 算法 ：对于二维和三维的树状形状，存在线性时间算法解决 STAP。
• 缩放形状的可构建性 ：对于每个非退化的多联骨牌 $P$，其 2 倍缩放副本是可构建的；对于每个非退化的多