11、传输图可达性问题解析

传输图可达性问题解析

1. 基本概念与初步计算

在传输图的研究中，有一些重要的基础概念。对于网格状范围树中的单元格，若不存在满足特定条件的有用单元格，该单元格就被称为极端单元格。具体来说，单元格 $B = B(i, j)$ 被定义为 $B_p$ 的极端单元格，当不存在索引 $i’$ 和 $j’$ 使得 $i - j = i’ - j’$ 且 $i’ < i$ 时，单元格 $B(i’, j’)$ 为有用单元格。并且，包含 $nF(p)$ 的 $B_p$ 单元格是极端单元格，同时 $B_p$ 的极端单元格数量为 $O(\log n)$。

计算 $nF(p)$ 时，具体步骤如下：
1. 首先在 $O(\log^2 n)$ 时间内计算 $B_p$。
2. 对于 $B_p$ 中的每个单元格 $B$，利用 $P ∩ B$ 的幂图（存储在第三级树的根节点），在总共 $O(\log^3 n)$ 时间内检查其是否有用。
3. 从 $B_p$ 的有用单元格中选择 $O(\log n)$ 个极端单元格。
4. 对于每个极端单元格 $B$，在 $O(\log^2 n)$ 时间内计算 $nB(p)$，所以总查询时间为 $O(\log^3 n)$。

基于此，有以下重要定理：
- 给定一个点集 $P$ 和常数 $t > 1$，可以在 $O(n \log^3 n)$ 时间内构造 $P$ 的传输图的 $t$ - 扩张器。
- 利用 $t$ - 扩张器 $H$，可以在 $O(n \log n)$ 时间内构造传输图 $G$ 的广度优先搜索（BFS）树。

2. 无界半径比的可达性预言机

为了处理无界半径比