7、基于属性加密（ABE）的核心组件与密码学难题假设解析

基于属性加密（ABE）的核心组件与密码学难题假设解析

1. 秘密共享基础

秘密共享是一种重要的密码学原语，它不仅自身具有重要意义，还为其他密码学原语奠定了基础。假设要共享一个秘密 $s$，若矩阵 $M$ 满足特定条件，$v_1 = s$，$v_2, \ldots, v_{n^2} \in R\mathbb{Z}_p$ 是均匀随机选取的，那么 $Mv$ 就是秘密 $s$ 的 $n_1$ 个份额组成的向量，$Mv$ 的第 $i$ 个元素 $(Mv)_i$ 就是分配给参与者 $\rho(i)$ 的份额。

需要注意的是，$n_1$ 表示参与共享的个体数量，并且在 Shamir 的秘密共享方案（SSS）中，对参与者的阈值没有要求。因此，我们可以用份额生成矩阵来表示每个线性阈值秘密共享方案，但并非每个能用份额生成矩阵表示的线性阈值秘密共享方案都是阈值方案。

2. 可验证秘密共享（VSS）

虽然秘密共享方案是一个有用的工具，但在一定程度上依赖于参与协议者的诚实性。如前文所述，未经授权的参与者集合无法提取秘密，这是我们希望实现的安全特性。另一方面，我们可能希望协议参与者诚实，即他们用于获取秘密的份额与分发时收到的份额相同，而非修改后的版本。

VSS 的特点是分发者公开提供关于参与者份额的一些额外信息，以便其他参与者在重建步骤中验证参与者提供的份额是否与分发时收到的份额实际相同。这些额外信息也被称为验证密钥。Feldman 利用验证密钥改进了 Shamir 的秘密共享方案，使系统能够独立验证参与者在重建过程中提供的份额。

3. 相关定义

• 访问结构 ：设 $P