14、MATLAB 优化与微积分计算全解析

MATLAB 优化与微积分计算全解析

1. 优化概述

优化指的是确定函数 (y = g(x)) 取得特定值或极值的过程。当函数定义简单时，可找到其反函数 (x = g^{-1}(y))，通过计算反函数来确定产生给定 (y) 值的 (x)。但许多函数没有反函数，此时需用迭代法估计产生已知 (y) 的 (x)，这种迭代过程称为零值查找，因为求 (y = g(x)) 的 (x) 等价于求 (f(x) = 0) 的 (x)，其中 (f(x) = y - g(x))。

除了确定函数的特定值，了解其极值（最大值或最小值）也很常见。由于函数的最大值是其负值的最小值（即 (\max f(x) = \min { - f(x)})），求极值的迭代过程通常只找最小值，这些过程称为最小化算法。

2. 零值查找

• 一维函数零值查找 ：对于一维函数，可使用 MATLAB 的 fzero 函数找零值，该函数结合了二分法和逆二次插值算法。
• 多维函数零值查找 ：对于多维函数，基本 MATLAB 无法解决，需使用优化工具箱或第三方工具箱。

以下是使用 fzero 函数的示例：

x = linspace(-.5,1.5);
y = humps(x);
plot(x,y)
grid on
title('Figure 22.1: Humps Function')
format long
H_humps = @hum