LeetCode分类算法笔记1——分治

最新推荐文章于 2022-09-13 17:26:23 发布

xyc_undermoon

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分类专栏：算法笔记文章标签：分治算法算法

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本文深入探讨了分治算法的基本思想及其在逆序对个数计算、众数查找、最大子序和求解以及幂函数计算等典型问题中的应用。通过实例解析，详细介绍了分治策略如何将复杂问题分解为子问题并最终求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

算法学习笔记——LeetCode分类算法

1.分而治之

1.主要思想

对一个大规模的问题运用分治策略，就是将这个大规模的问题划分成若干小规模的子问题，然后对这这些子问题进行求解，最后按划分将求得的结果进行合并，就得到了原问题的解。分治思想就是将分解，即将大问题分解为若干小问题，然后各个击破。

利用分治算法求解问题的步骤可以如下表示：

1.分：将大问题分解成众多小问题；

2.治：求解各个小问题；

3.合：将解决的问题合并

【注】分治是一种策略，如果一个大问题进行一次分解后仍然无法轻易解出，则可继续对其子问题进行划分，直至子问题解出。

分治过程可以用树状图表示如下：

分而治之

2.分治策略的适用情况

原问题的计算复杂度随问题规模的增加而增加
原问题能够被分解为更小的子问题
子问题的结构和性质与原问题一样，并且相互独立，子问题之间不包含公共的子子问题（子问题的子问题）
原问题分解出的子问题可以合并为该问题的解

3.分治策略的应用

1）逆序对个数

相关概念：

逆序对：一个序列（a1,a2,…,an），设有整数i、j，0 < i < j <n+1，且ai > aj，则(ai,aj)为一个逆序对。

问题描述：求序列(a1,a2,…,an)中逆序对个数。

解题思路：

1.暴力破解

选取序列最左端的元素，比较其与其后各元素的大小，但凡有比其小者将计数器加1，比完之后再对第二个元素与其后各元素进行比较，依次反复进行，直至全部找出。

2.分而治之

将序列分为左右两个子序列A、B，a、b分别为A、B中的元素，假设A中a左侧元素全部小于a，右侧全部大于a，B中b左侧元素全部小于b，右侧全部大于b，若a>b，则（a，b）为一个逆序对，同时对于B中b左侧的所有元素b1、b2、……，（a，b1）、（a，b2）……也都为逆序对。

直观描述如下图所示：

求逆序对

伪代码描述：

2）众数

问题描述：

给定一个大小为 n 的数组，找到其中的众数。众数是指在数组中出现次数大于 [n/2] 的元素。（此处假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在众数。）

解题思路：

将数组从中间分为左右两个子数组，求左右两个子数组的众数，比较左右两数组的众数是否相同，相同则返回此众数；若不相同，则比较左右各众数在数组中出现的次数，返回次数多者。

此问题解题思路的直观描述如下：

【注】图中b1、b2以及蓝色元素为数组中的众数

求众数

python实现：

def Mode(nums):
    '''nums为一个实数序列'''
    if len(nums) == 0:
        return None;
    if len(nums) == 1:
        return nums[0];
    # 将序列划分为左右两部分
    left = Mode(nums[:len(nums) // 2])
    right = Mode(nums[len(nums) // 2:])
    # 判断左右两部分的众数
    if left == right:
        return left
    if nums.count(left) > nums.count(right):
        return left
    else:
        return right

C++实现：

header.h文件

/*定义数组类*/
class Array {
protected:
	double *A, *leftArray, *rightArray, left, right;
	int length;
public:
	Array(int size) {
		if (size <= 0)
			cerr << "数组长度不能为负，数组创建失败！";
		A = new double[size];
		length = size;
	}
	~Array() {
		delete[]A;
	}
	Array(int size, double &B) {
		*A = B;
		length = size;
	}
	double Mode();    //求众数函数
	int count(double a);    //求数组元素个数
};

Mode.cpp文件

// 数组中与a相同的元素个数
int Array::count(double a) {
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < length; i++) {
		if (A[i] == a)
			count ++;
	}
	return count;
}
// 求众数
double Array::Mode() {
	if (length == 1)
		return A[0];
	//拆分问题
	leftArray = new double[length / 2];
	rightArray = new double[length - length / 2];
	for (int i = 0; i < length; i++) {
		if (i < length / 2)
			leftArray[i] = A[i];
		else
			rightArray[i - length / 2] = A[i];
	}
	Array *Left = new Array(length / 2, *leftArray);
	Array *Right = new Array(length - length / 2, *rightArray);
	left = Left->Mode();    //递归
	right = Right->Mode();
	//返回数量多的众数
	if (left == right)
		return left;
	if (Left->count(left) > Right->count(right)) {
		Left->~Array();
		Right->~Array();
		return left;
	}
	else {
		Left->~Array();
		Right->~Array();
		return right;
	}
}

3）最大子序和

问题描述：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

解题思路：

将数组从中间一分为二，分别求两个子数组的最大子序和，然后将二者的最大子序和相加，比较三者的大小，最大的即为原数组的最大子序和。数组的子数组同这样分治，直至数组分至最小单元。

此问题的解题思路直观描述如下：

【注】b1、b2为两子序列各自的最大子序和，原数组的最大子序和及b1、b2、b2+b1中最大者，如图中绿色返回语句所示

最大子序和

python实现：

def maxSubArray(Array):
    n = len(Array)
    if(n == 0):
        return None
    if(n == 1):
        return Array[0]
    # 将数组拆分为左右两部分（分）
    left = maxSubArray(Array[: n // 2])
    right = maxSubArray(Array[n // 2:])
    #（治）
    # 求左子数列最大子序和
    temp = 0
    left_max = Array[n // 2 - 1]
    for i in Array[:n // 2][::-1]:
        temp += i
        left_max = max(left_max, temp)
    # 求右子数列最大子序和
    temp = 0
    right_max = Array[n // 2]
    for i in Array[n // 2:]:
        temp += i
        right_max = max(right_max, temp)
    # 返回最大结果（合）
    return max(left_max, right_max, left_max + right_max)

C++实现：

int maxSubArray(int *A) {
	int n = sizeof(A);
	if (n == 0) {
		cerr << "This array is none!";
		return 0;
	}
	if (n == 1)
		return A[0];
	// 拆分数组
	int *leftArray = new int[n / 2];
	int *rightArray = new int[n - n / 2];
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (i < n / 2)
			leftArray[i] = A[i];
		else
			rightArray[i - n / 2] = A[i];
	}
	int left = maxSubArray(leftArray);
	int right = maxSubArray(rightArray);
	// 求左子序列的最大子序和
	int temp = 0;
	int left_max = leftArray[n / 2 - 1];
	for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
		temp += leftArray[i];
		if (temp > left_max)
			left_max = temp;
	}
	// 求右子序列的最大子序和
	temp = 0;
	int right_max = rightArray[0];
	for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
		temp += rightArray[i];
		if (temp > right_max)
			right_max = temp;
	}
	// 求左右子序和与两和之和的最大值
	temp = left_max + right_max;
	if (left_max > temp)
		temp = left_max;
	if (right_max > temp)
		temp = right_max;
	delete[] leftArray;
	delete[] rightArray;
	return temp;
}

4）幂函数

问题描述：实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。

解题思路：

用分治进行幂函数求解可以将幂函数分解为若干低次幂的乘积，这里使用二分，分解方法如下：

指数为偶数情况：

指数为奇数情况：

A^(2n+1) = A * A^(2n)

python实现：

def Power(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return x
    if n < 0:
        return Power(1 / x, -n)
    # 若指数不为2的倍数，则提出一个底数
    if n % 2 == 1:
        return x * Power(x, n-1)
    # 若指数为2的倍数，则将底数乘方，指数减倍
    return Power(x * x, n / 2)

C++实现：

double Power(double x, int n) {
	if (n == 0)
		return 1;
	if (n < 0)
		return Power(1 / x, -n);
	//拆解幂函数
	if (n % 2 == 0)
		return Power(x * x, n / 2);
	else
		return x * Power(x, n - 1);
}