Acwing151周赛T2序列数量,组合计数

方程的正整数解问题

x1 + x2 + x3 ... + xn = m
其中 xi为正整数，问：有多少种组合
此时利用隔板法。
==> m个小球，分给n个人，每个人至少一个。
==> m个小球，m - 1的空隙，放置n -1个隔板即可
⇒ $C_{m-1}^{n-1}$

逆元问题

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a （b能被a整除)，则存在一个整数 x，使得 $\frac{a}{b}$ ≡ $a\times x(modm)$，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b⁻¹(mod m)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，b^m−2 即为 b 的乘法逆元。
普通话解释：如果要求$\frac{a}{b}$ % m 的结果，可以用a 乘上逆元，即 a * b^m-2 % m, m必须为质数

给定整数 n,m ,
请你计算，一共有多少个长度为 m的非负整数序列 a₁,a₂,…,a_m 满足 1≤a₁+a₂+…+a_m≤n 由于结果可能很大，你只需要输出对 10⁶+3 取模后的结果。

我们只会方程，即等式，这题是不等式。所以需要转换一下。
由于是非负整数所有每个数的范围是0 <= a_i <=n.
现在新添加一个数 a_(m+1) 用来填充 a₁+a₂+…+a_m 的结果。
a_(m+1) 的范围是 0 <= a_(m+1) <= n -1 ,但是此时a_(m+1) 变得跟其他不一样了，为了让a_(m+1) 的范围跟其他也一样，需要先扩大a_(m+1) 的范围，然后再减去多算的那些0<=a_(m+1) <=n,当a_(m+1) =n时，此时属于多算了，此时的序列只有一种即a₀ = 0, a₁ = 0 … a_n = 0, a_(m+1) = n

此时还不满足我们的知识，因为此时的a还不是正整数，我们在每个a_i的基础上 + 1 变成b_i
此时就变成了
b₁ + … + b_m+1 = n + m + 1有多少正整数解的问题了
即$C_{n+m}^m$