《自动驾驶中的SLAM技术》第2章: 基础数学知识回顾习题

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自动驾驶中的SLAM技术

第2章: 基础数学知识回顾

习题 1

分别使用左右扰动模型，计算 $\frac{\partial \mathbf{R}^{-1}\mathbf{p}}{\partial \mathbf{R}}$ 。

左扰动模型
$\begin{align*} \frac{\partial \mathbf{R}^{-1}\mathbf{p}}{\partial \mathbf{R}} &= \underset{\delta \boldsymbol{\phi} \rightarrow 0}{\lim}\frac{\left( \mathrm{Exp}\left( \delta \boldsymbol{\phi} \right) \mathbf{R} \right) ^{-1}\mathbf{p}-\mathbf{R}^{-1}\mathbf{p}}{\delta \boldsymbol{\phi}} \\ &= \underset{\delta \boldsymbol{\phi} \rightarrow 0}{\lim}\frac{\mathbf{R}^{-1}\mathrm{Exp}\left( -\delta \boldsymbol{\phi} \right) \mathbf{p}-\mathbf{R}^{-1}\mathbf{p}}{\delta \boldsymbol{\phi}} \\ &= \underset{\delta \boldsymbol{\phi} \rightarrow 0}{\lim}\frac{\mathbf{R}^{-1}\left( \mathbf{I}-\delta \boldsymbol{\phi} ^{\land} \right) \mathbf{p}-\mathbf{R}^{-1}\mathbf{p}}{\delta \boldsymbol{\phi}} \\ &= \underset{\delta \boldsymbol{\phi} \rightarrow 0}{\lim}\frac{-\mathbf{R}^{-1}\delta \boldsymbol{\phi} ^{\land}\mathbf{p}}{\delta \boldsymbol{\phi}} \\ &= \underset{\delta \boldsymbol{\phi} \rightarrow 0}{\lim}\frac{\mathbf{R}^{-1}\mathbf{p}^{\land}\delta \boldsymbol{\phi}}{\delta \boldsymbol{\phi}} \\ &= \mathbf{R}^{-1}\mathbf{p}^{\land} \end{align*}$