严格次小生成树

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描述

给出由 N 个点 M 条边组成的带权无向连通图（可能出现自环和重边），请计算 最小生成树 和 严格次小生成树（即边权和必须严格大于最小生成树） 的边权之和。

输入

第一行两个整数 N, M 分别表示点数和边数。(2<=N<=105, N<=M<=3*105)
接下来 M 行，每行三个整数 u, v, w 表示边的两个端点和权值。(1<=u,v<=N, 0<=w<=109, 数据保证严格次小生成树一定存在)

输出

两个整数分别表示最小生成树的边权之和 以及 严格次小生成树的边权之和，用空格隔开。

样例输入

4 5
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 3
1 3 1

样例输出

3 5

思路：先用kruskal跑出最小生成树，再枚举非树边并试着去加入，加入后，删掉权值严格小于这条非树边权值的树边中权值最大的树边，如果没有则跳过，最终的答案就是合法的答案中的最小值。但是因为数据范围较大，所以我们考虑树上倍增找LCA，并在路径上求出所求树边并返回答案。但我们倍增数组只需要维护最大值，次大值和祖先编号就可以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+10,maxm=3e5+10,L=20;
const ll inf=1e18+7;
struct T{
	int u,v,w;
}e[maxm];
int n,m,d[maxn],k;
ll mx[maxn][L],mx2[maxn][L];
int fa[maxn][L],sz[maxn];
bool on[maxm];
ll ans1,ans2=inf;
vector<pii> g[maxn];
bool cmp(const T &x,const T &y){
	return x.w<y.w;
}
inline int find(int x){
	return x==fa[x][0]?x:fa[x][0]=find(fa[x][0]);
}
inline bool merge(int x,int y){
	x=find(x),y=find(y);
	if(x==y) return 0;
	if(sz[x]>sz[y]) swap(x,y);;
	sz[y]+=sz[x];
	fa[x][0]=y;
	return 1;
}
void kruskal(){
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(merge(u,v)){
			ans1+=w,++tot;
			g[u].push_back({v,w});
			g[v].push_back({u,w});
			on[i]=1;
		}
		if(tot==n-1) break;
	}
}
void dfs(int x,int pa){
	d[x]=d[pa]+1,fa[x][0]=pa;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		mx[x][i]=max(mx[x][i-1],mx[fa[x][i-1]][i-1]);
		if(mx[x][i]>mx[x][i-1]) mx2[x][i]=max(mx2[x][i],mx[x][i-1]);
		if(mx[x][i]>mx[fa[x][i-1]][i-1]) mx2[x][i]=max(mx2[x][i],mx[fa[x][i-1]][i-1]);
		mx2[x][i]=max(mx2[x][i],max(mx2[x][i-1],mx2[fa[x][i-1]][i-1]));
	}
	for(auto nxt:g[x])
		if(nxt.first!=pa){
			mx[nxt.first][0]=nxt.second;
			dfs(nxt.first,x);
		}
}
ll get(int x,int y,ll w){
	ll mxx=0;
	if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
	for(int i=k;~i;i--) if(d[fa[x][i]]>=d[y]){
		mxx=max(mx2[x][i],mxx);
		if(mx[x][i]!=w) mxx=max(mxx,mx[x][i]);
		x=fa[x][i]; 
	}
	if(x==y) return mxx?mxx:-inf;
	for(int i=k;~i;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
		mxx=max(mxx,max(mx2[x][i],mx2[y][i]));
		if(mx[x][i]!=w) mxx=max(mxx,mx[x][i]);
		if(mx[y][i]!=w) mxx=max(mxx,mx[y][i]);
		x=fa[x][i],y=fa[y][i]; 
	}
	if(mx[x][0]!=w) mxx=max(mxx,mx[x][0]);
	if(mx[y][0]!=w) mxx=max(mxx,mx[y][0]);
	return mxx?mxx:-inf;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;k=log2(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) sz[i]=1,fa[i][0]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;cin>>u>>v>>w;
		e[i]={u,v,w};
	}
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	kruskal();
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(!on[i]&&e[i].u!=e[i].v)
			ans2=min(ans2,ans1+e[i].w-get(e[i].u,e[i].v,e[i].w));
	cout<<ans1<<' '<<ans2<<endl;//ans1为最小生成树,ans2为严格次小生成树
	return 0;
}