O(log n) 与 O(n) 的核心区别

把复杂度想成“当数据量 n 越来越大时，程序要跑多少步”。
O(log n) 与 O(n) 的核心区别，用一句大白话：

O(log n) 每翻一倍数据，只多跑一步；
O(n) 每翻一倍数据，得多跑一倍步数。

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1 先抓直觉：电话簿翻名字

• O(n)：从第一页开始逐页扫描，3000 页就要看 3000 行。

• O(log n)：电话簿已按字母排序，你直接对半翻、再对半翻——最多翻 log₂3000 ≈ 12 次就能找到。
  数据量翻 10 倍到 30 000 页，也只再多 3～4 次翻开而已。

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2 数学图像
把 n 从 1 涨到 100 万：

数据量 n	O(log n) 步数	O(n) 步数
1 000	≈10	1 000
1 000 000	≈20	1 000 000

O(log n) 曲线几乎躺平；O(n) 是45° 直线往上冲。

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3 代码层面怎么一眼识别

• 一层循环把问题“砍掉一半” → O(log n)
  例：二分查找、平衡二叉树查找、堆的插入/删除。

  while lo <= hi:          # 区间每轮减半
      mid = (lo + hi) // 2
      ...
  

• 一层循环把问题“逐个扫一遍” → O(n)
  例：数组求和、链表遍历、顺序查找。

  for x in arr:            # 每个元素都碰一次
      s += x
  

• 两层嵌套，每层都几乎扫 n → O(n²)
  例：冒泡排序、暴力两数之和。

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4 速记口诀
“折半砍 = log n，挨个扫 = n，套两层 = n 方。”

记住电话簿例子，以后看到“区间减半”“树往下走”就条件反射：
哦，这是 **O(log n)**，数据再大也不慌！